x +y = 4 2x + 3y =3 x= 64.00, y=

आकार: px
पृष्ठ पर प्रदर्शन शुरू करें:

Download "x +y = 4 2x + 3y =3 x= 64.00, y="

प्रतिलिपि

1 x +y 4 x + 3y 3 x 64.00, y

2

3

4

5

6

7

8

9

10 1 स च चल, श क य. स च : ओळख स च च प रक र व न च त सम न स च, उपस च व शवस च, प रक स च छ द स च, स य ग स च स च त ल घटक च स खय जर आठव य. ख ल क ह च त द ल आह त. तय मधय आपलय पर चय च वस त सम ह आह त. 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,... फ ल च गत चछ क ललय च जत डग पकय च थव वह च गठ स खय च गट वर ल प रतय क वस त सम ह स ठ आपण व श ष ट शबद व परत. य सर व उद हरण त सम ह त ल घटक आपण स अच क व न मक पण न स गत य त त. वसत चय अश सम ह न स च अस महणत त. आत ह सम ह प ह. ग व त ल आन द मत ल, वर ग त ल ह श र मत ल. सम ह चय य द नह उद हरण मधय आन द आण ह श र य द नह शबद च अर थ स प क ष आह त महणज आन द व तत व ह श र य द नह शबद च अर थ न मक पण न स गत य त न ह त महण न य सम ह न स च महणत य ण र न ह. आत पत ढ क ह उद हरण द ल आह त. तय त ल क णतय सम ह न स च महणत य ईल त स ग. (1) आठवड च स त व र () एक वर ष च मह न (3) वर ग त ल श र मत ल (4) पह लय 10 म जस खय (5) मह र ष टट त ल बळकट गड-क ल (6) आपलय स र यम ल त ल ग रह 1

11 स च (Sets) ज ण न घ ऊय. जय सम ह त ल घटक अच क व न मक पण न स गत य त त, तय सम ह न स च अस महणत त. स च ल न व द णय स ठ सर वस ध रणपण A, B, C,...,Z य प क इ ग रज वर णम ल त ल पह लय ल प त ल अक षर व परत त. स च च घटक द खवणय स ठ a, b, c,... य प क इ ग रज अक षर व परत त. a ह स च A च घटक आह ह a Î A अस ल ह त त आण a ह स च A च घटक न ह ह द खवणय स ठ a Ï A अस ल ह त त. आत आपण स खय च स च प ह. N { 1,, 3,...} ह न सर ग क स खय स च (Set of natural numbers) आह. W {0, 1,, 3,...} ह प र ण स खय स च (Set of whole numbers) आह. I {..., -3, -, -1, 0, 1,,...} ह प ण क स खय स च (Set of integers) आह. Q ह सर व पर म य स खय च स च (Set of rational numbers) आह. R ह व सतव स खय च स च (Set of real numbers) आह. स च ल ह णय चय पद धत स च ल ह णय चय द न पद धत आह त. (1) य द पद धत (Listing method or roster method) य पद धत त स च च सर व घटक मह रप क स त ल ह त त व प रतय क घटक व गळ द खवणय स ठ द न लगतचय घटक मधय सवलपचवर म द त त. य मधय घटक च क रम महत व च नसत, पण सगळ घटक दर शवण आवशयक असत. उद. 1 त 10 मध ल व षम स खय च स च य द पद धत न पत ढ लप रम ण ल ह त य ईल. जस, A {3, 5, 7, 9} क व A {7, 3, 5, 9} जस, remember य शबद त ल अक षर च स च {r, e, m, b} अस ल ह त त. य थ remember य शबद त r, m, e ह अक षर एक प क ष अध क व ळ आल असल तर स च त त एकद च ल ह ल आह त. () ग णधर म पद धत (Rule method or set builder form) य पद धत त घटक च य द न करत स च च सर वस ध रण घटक चल न दर शव न तय चय पत ढ उभ र घ क ढत त. उभय र घ पत ढ तय चल च गत णधर म ल ह त त. उद. A {x ½ x Î N, 1 < x < 10} य च व चन स च A च घटक x अस आह त क, x ह 1 व 10 चय दरमय नच न सर ग क स खय आह, अस करत त.

12 उद. B { x x ह 1 त 10 मध ल म ळ स खय आह.} य मधय 1 त 10 मध ल सर व म ळस खय च सम व श ह ईल महण न B ह स च {, 3, 5, 7} अस य द पद धत न ह ल ह त य ईल. Q ह पर म य स खय स च गत णधर म पद धत न पत ढ लप रम ण ल ह त य त. Q { q p p, q Î I, q ¹ 0} य च व चन q p य सवर प चय अश स खय आह त क, p ह क णत ह प ण क स खय आण q ह श नय तर प ण क स खय अस ल. नमत न उद हरण : ख ल ल उद हरण त प रतय क स च द नह पद धत न ल ह ल आह. ग णधर म पद धत य द पद धत A { x x ह DIVISION य शबद त ल अक षर आह.} A {D, I, V, S, O, N} B { y y ह स खय अश आह क y 9} B { -3, 3} C {z z ह 5 चय पट त ल 30 प क ष लह न न सर ग क स खय आह.} C { 5, 10, 15, 0, 5} उद. : पत ढ ल स रण त ल र क मय ज ग भर न त स रण प र ण कर य द पद धत A {, 4, 6, 8, 10, 1, 14} ग णधर म पद धत A {x x ह 15 प क ष लह न सम न सर ग क स खय आह.}... B { x x ह 1 त 0 मध ल प र ण वर गस खय आह.} C { a, e, i, o, u} D { y y ह इ द रधनत षय त ल र ग आह.}... P {x x ह प ण क स खय अश आह क, -3 < x < 3} M {1, 8, 7, 64, 15...} M {x x ह धन प ण क च घन आह.} (1) पत ढ ल स च य द पद धत न ल ह. (i) सम प ण क स खय च स च (iii) सर व ऋण प ण क च स च सर वस च 1.1 (ii) 1 त 50 मध ल सम म ळ स खय च स च (iv) स ग त त ल स त म ळ सवर च स च () ख ल च नह त द ल ल व ध न शबद त ल ह. (i) 4 Î Q (ii) - Ï N (iii) P {p p ह व षम स खय आह.} 3 3

13 (3) क णत ह द न स च य द पद धत न आण गत णधर म पद धत न ल ह. (4) ख ल ल स च य द पद धत न ल ह. (i) भ रत य स र वर ष त ल सर व मह नय च स च. (ii) COMPLEMENT य शबद त ल अक षर च स च. (iii) म नव चय सर व ज न द र य च स च. (iv) 1 त 0 मध ल म ळ स खय च स च. (v) प थव वर ल ख ड च स च. (5) ख ल ल स च गत णधर म पद धत न ल ह. (i) A { 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, 81, 100} (ii) B { 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, 48} (iii) C {S, M, I, L, E} (iv) D {रव व र, स मव र, म गळव र, बत धव र, गत र व र, त क रव र, शन व र} (v) X {a, e, t} स च च प रक र (Types of sets) ज ण न घ ऊय. स च च न व वय खय उद हरण एकघटक स च जय स च त फक त एकच घटक असत, A {} (Singleton Set) अश स च स एकघटक स च अस A ह सम म ळ स खय च स च महणत त. र क त स च (Null Set) (Empty Set) स त स च (Finite Set) अन त स च (Infinite Set) जय स च त द ल लय गत णधर म च एकह घटक नसत, तय स र क त स च महणत त. ह स च { } क व f (फ य) य च नह न द खवत त. ज स च र क त आह क व जय स च त ल घटक च स खय मर य द त असत व म जत य त, तय ल स त स च महणत त. जय स च त ल घटक च स खय अमर य द असत व म जत य त न ह तय ल अन त स च महणत त. 4 आह. B {x x ह व 3 मध ल न सर ग क स खय आह.} \ B { } क व f C {p p ह 1 त मध ल 4 न व भ जय स खय आह.} C {4, 8, 1, 16, 0} N {1,, 3,... }

14 उद. पत ढ ल स च य द पद धत न ल ह न तय च स त स च व अन त स च अस वगग करण कर. (i) A {x x Î N आण x ह व षम स खय आह.} (ii) B {x x Î N आण 3x - 1 0} (iii) C {x x Î N आण x ह 7 न व भ जय स खय आह.} (iv) D {(a, b) a, b Î W, a +b 9} (v) E {x x Î I, x 100} (vi) F {(a, b) a, bî Q, a +b 11} उकल : (i) A {x x Î N आण x ह व षम स खय आह.} A {1, 3, 5, 7,...} ह अन त स च आह. (ii) B {x x Î N आण 3x - 1 0} 3x \ 3x 1 x 1 3 Ï N \ B { } \ B ह स त स च आह. पण 1 3 (iii) C {x x Î N आण x ह 7 न व भ जय स खय आह.} C {7, 14, 1,... } ह अन त स च आह. (iv) D {(a, b) a, b Î W, a +b 9} आपण a आण b चय अश ज ड श ध शकत क, a, b प र ण स खय अस न a + b 9 आह. आध a च आण न तर b च क मत, अस क रम ठ व न D ह स च य द पद धत न पत ढ लप रम ण चलचहत य ईल. D {(0, 9), (1, 8), (, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, ), (8, 1),(9, 0)}, य स च च घटक महणज च स खय चय ज ड म जत य त त व न शशचत आह त. \ D ह स च, स त स च आह. (v) E {x x Î I, x 100} E {-10, 10}. \ E ह स त स च आह. (vi) F {(a, b ) a, b Î Q, a +b 11 } F {(6, 5), (3, 8), (3.5,7.5), (-15, 6),...} अश अस खय ज ड म ळत त. \ F ह अन त स च आह. ह लक त घय! स खय च N, W, I, Q, R ह सगळ स च अन त स च आह त. 5

15 सम न स च (Equal sets) ज ण न घ ऊय. स च A मध ल प रतय क घटक स च B मधय आण B य स च त ल प रतय क घटक ह स च A मधय अस ल तर त स च सम न आह त अस महणत त. A आण B ह सम न स च आह त ह च नह त A B अस ल ह त त. उद (1) A { x x ह listen य शबद त ल अक षर आह.} \ A { l, i, s, t, e, n} B { y y ह silent य शबद त ल अक षर आह.} \ B { s, i, l, e, n, t} A आण B य त ल घटक च क रम व गव गळ आह, पण घटक त च आह त महण न A व B ह स च सम न आह त. महणज च A B आह. उद () A {x x n, n Î N, 0 < x 10}, A {, 4, 6, 8, 10} B { y y ह समस खय आह, 1 y 10}, B {, 4, 6, 8, 10} \ A व B ह सम न स च आह त. आत ख ल ल स च च व च र कर. C {1, 3, 5, 7} D {, 3, 5, 7} C आण D सम न स च आह त अस महणत य ईल क? अर थ तच न ह. क रण 1 Î C, 1 Ï D, Î D, Ï C महण न C व D सम न स च न ह त. महणज च C ¹ D उद (3) जर A {1,, 3} आण B { 1,, 3, 4}तर A ¹ B य च पडत ळ घय. उद (4) A {x x ह म ळ स खय व 10 < x < 0} आण B {11, 13, 17, 19} य थ A B आह य च पडत ळ घय. सर वस च 1. (1) ख ल लप क क णत स च सम न आह त व क णत न ह त त सक रण ल ह. A { x 3x - 1 } B { x x न सर ग क स खय आह पण x म ळह न ह व स यत क तह न ह.} C {x x Î N, x < } () A व B सम न आह त क त सक रण ल ह. A सम असल लय म ळस ख य B {x 7x } (3) ख ल लप क क णत स च र क त आह त त सक रण ल ह. (i) A { a a ह श नय प क ष लह न असण र न सर ग क स खय आह.} (ii) B {x x 0} (iii) C { x 5 x - 0, x Î N} 6

16 (4) ख ल लप क क णत स च स त व क णत अन त आह त त सक रण ल ह. (i) A { x x < 10, x ह न सर ग क स खय } (ii) B {y y < -1, y ह प ण क स खय } (iii) C तत मचय श ळ त ल 9 व मध ल सर व व द थय च स च (iv) तत मचय ग व त ल रह व श च स च व न आक त (Venn diagrams) ज ण न घ ऊय. (v) प रय गश ळ त ल उपकरण च स च (vi) प र ण स खय स च (vii) पर म य स खय स च स च ल ह णय स ठ ब द सत आक तय च उपय ग चर ट श तर कश सत ज ज न व न य न प रथम क ल. महण न अश आक तय न व न आक त महणत त. व गव गळ स च त ल स ब ध समजणय स ठ आण स च वर आध र त उद हरण स डवणय स ठ य आक तय च च गल उपय ग ह त. व न आक तय न स च कस द खवल ज त त त ख ल ल उद हरण वर न समज न घय. उद. A { 1,, 3, 4, 5} व न आक त न A ह स च ख ल द खवल आह. 1 A तर कश सत व स भ वयत य व षय न गण त र प द णय च क म ज न व न य न प रथम क ल. ल ज क ऑफ च नस ह तय च प रस द ध पत सतक आ ह. B {x -10 x 0, x प ण क} श ज र ल व न आक त B ह स च दर शवत B उपस च (Subset) जर A आण B ह द न स च असत ल आण स च B च प रतय क घटक, स च A च द ख ल घटक अस ल तर स च B ल स च A च उपस च महणत त आण B Í A अश च नह न द खवत त. तय च व चन B उपस च A अस क व B ह A च उपस च आह अस करत त. उद (1) A { 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B {, 4, 6, 8} B मध ल प रतय क घटक A च द ख ल घटक आह. महणज च B Í A. ह म ह त व न आक त न कश द खवल आह त प ह. 7 A 1 B

17 क त : वर ग त ल मत ल च स च व तय च वर ग त ल प हत य ण ऱय मत ल च स च व न आक त न द खवल आह त. तय प रम ण ख ल ल उपस च स ठ व न आक तय क ढ. (1) (i) वर ग त ल मत ल च स च (ii) वर ग त ल स यकल च लव शकण ऱय मत ल च स च () ख ल क ह फळ च एक स च द ल आह. वर ग त ल मत ल वर ग त ल प हत य ण र मत ल {प र, स त, आ ब, फणस, च क, ज भ ळ, स त फळ, पपई, करव द} पत ढ ल उपस च द खव. (i) एक ब असण र फळ (ii) एक प क ष ज सत ब य असण र फळ आत आणख क ह उपस च प ह. उद () N न सर ग क स खय स च. I प ण क स खय स च. य थ N Í I. क रण सर व न सर ग क स खय ह प ण क स खय सत द ध असत त ह आपलय ल म ह त आह. उद (3) P { x x ह 5 च वर गम ळ आह.} S { y y Î I, -5 y 5} य द पद धत न P ह स च ल ह. P {-5, 5} य द पद धत न S ह स च ल ह. S {-5, -4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4, 5} य थ P च प रतय क घटक S च घटक आह. \ P Í S ह लक त ठ व य. (i) प रतय क स च सवत:च उपस च असत. महणज च A Í A (ii) र क त स च ह प रतय क स च च उपस च असत. महणज च f Í A (iii) जर A B तर A Í B आण B Í A (iv) जर A Í B व B Í A तर A B उद. A { 1, 3, 4, 7, 8} य स च च उपस च प ह. जस P { 1, 3}, T {4, 7, 8}, V {1, 4, 8}, S {1, 4, 7, 8} अस आणख अन क उपस च तय र करत य त ल. तय प क क णत ह प च उपस च ल ह. 8

18 क त : प रतय क व द थय वन क गद च स ध रण स रखय आक र च नऊ चत क ण आण एक थ ळ घय व. चत क ण वर 1 त 9 य स खय ल ह वय त. मग प रतय क न आप पलय थ ळ त स खय ल ह ल ल क ह चत क ण क गद ठ व व त. आत प रतय क जवळ 1 त 9 य स खय असण ऱय स च च उपस च तय र ह ईल. सत ज त हम द मत क त न द न ज स फ सत ज त, हम द, मत क त, न द न आण ज स फ य चय थ ळ मध न क णक णतय स खय द सत आह त त प ह. प रतय क न क णत व च र कर न स खय न वडलय आह त ह ओळख. तय वर न प रतय क स च गत णधर म पद धत न ल ह. उद. ख ल क ह स च द ल ल आह त. A {..., -4, -, 0,, 4, 6,...} B {1,, 3,...} C {..., -1, -6, 0, 6, 1, 18...} D {..., -8, -4, 0, 4, 8,...} I {..., -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4,...} य वर न पत ढ लप क क णत व ध न सतय आह त य वर चर च कर. (i) A ह B, C, D य प रतय क स च च उपस च आह. (ii) B ह वर ल सर व स च च उपस च आह. व शवस च (Universal set) ज ण न घ ऊय. चल, चर च कर य. आपण जय स च च व च र करण र आह त तय सव न स म व न घ ण र एक म ठ स च व शवस च महण न घ त य त. तय चय ब ह र ल घटक च आपण व च र करत न ह. व च र त घ तल ल प रतय क स च व शवस च च उपस च असत. उद (1) आपलय ल श ळ त ल व र व र अनत पशसथत र हण ऱय 9 व चय क ह व द थय चय अनत पशसथत च अभय स कर यच आह. तय स ठ 9व य इयतत त ल व द थय चय स च च व च र कर व ल ग ल. य थ तय इयतत त ल सर व व द थय च स च क व श ळ त ल सर व व द थय च स च ह व शवस च घ त य ईल. 9

19 आत द सर उद हरण प ह. उद () आपलय ल श ळ त ल क र क ट ख ळण ऱय मत ल त न 15 मत ल च स घ न वड यच आह ; तर श ळ त ल क र क ट ख ळण ऱय सर व ख ळ ड च स च ह व शवस च ह ऊ शकत. U तय त ल य गय तय 15 ख ळ ड च स घ ह तय श ळ त ल क र क ट ख ळण र सर व व द थग चवशवस च च उपस च आह. क र क टच स घ व शवस च स ध रणपण U य अक र न दर शवत त. व न आक त मधय व शवस च स म नयत: आयत न द खवत त. प रक स च (Complement of a set) समज U ह व शवस च आह. जर B Í U, तर स च B मधय नसल लय पर तत व शवस च U मधय असल लय घटक चय स च ल स च B च प रक स च महणत त. स च B च प रक स च B क व B C न दर शवत त. \ B {x x Î U, आण x Ï B} अस B च वर णन करत य ईल A U उद (1) U { 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A 7 A {, 4, 6, 8, 10} \ A {1, 3, 5, 7, 9} उद () समज U { 1, 3, 9, 11, 13, 18, 19} B B {3, 9, 11, 13} \ B {1, 18, 19} आत (B ) क ढ. तय वर न क य न षकर ष न घत? (B ) ह स च महणज B मधय नसल लय पर तत U मधय असल लय घटक च स च. (B ) B म ळ ल क? 19 B 18 U वर ल म ह त व न आक त वर न समज न घय. प रक स च च प रक स च म णज द ल ल स च असत. ह लक त ठ व य. प रक स च च ग णधर म (i) A आण A य चय मधय स म ईक घटक नसत. (ii) A Í U आण A Í U (iii) व शवस च च प रक स च ह र क तस च असत. U f (iv) र क तस च च प रक स च ह व शवस च असत. f U 10

20 (1) जर A {a, b, c, d, e}, B { c, d, e, f }, C {b, d}, D {a, e} तर पत ढ लप क क णत व ध न सतय व क णत व ध न असतय आह त त ल ह. (i) C Í B (ii) A Í D (iii) D Í B (iv) D Í A (v) B Í A (vi) C Í A () 1 त 0 मध ल न सर ग क स खय च व शवस च घ ऊन X आण Y व न आक त न द खव. (i) X { x x Î N, आण 7 < x < 15} (ii) Y { y y Î N, y ह 1 त 0 मध ल म ळस खय आह.} (3) U {1,, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 1} P {1, 3, 7, 10} तर (i) U, P आण P व न आक त न द खव. (4) जर A {1, 3,, 7} तर A य स च च क णत ह त न उपस च ल ह. \ A Ç B {x x Î A आण x Î B} 11 (ii) (P ) P य च पडत ळ घय. (5) (i) पत ढ ल स च प क क णत स च द सऱय क णतय स च च उपस च आह त, त ल ह. P ह पत णय त ल रह व श च स च आह. M ह मधयप रद श त ल रह व श च स च आह. I ह इ द रमध ल रह व श च स च आह. B ह भ रत त ल रह व श च स च आह. H ह मह र ष टट त ल रह व श च स च आह. (ii) वर लप क क णत स च य उद हरण त व शवस च महण न घ त य ईल? (6 * ) ख ल क ह स च द ल आह त. तय च अभय स करत न क णत स च तय स च स ठ व शवस च घ त य ईल? (i) A 5 चय पट त ल स खय च स च, B 7 चय प ढ त ल स खय च स च. C 1 चय पट त ल स खय च स च. (ii) P 4 चय पट त ल प ण क स खय च स च. T सर व सम वर ग स खय च स च. (7) वर ग त ल सर व व द थय च स च ह व शवस च म न. गण त त 50% क व तय प क ष अध क गत ण म ळवण ऱय व द थय च स च A म नल तर A च प रक स च ल ह. स च वर ल शर य सर वस च 1.3 ज ण न घ ऊय. द न स च च छ द (Intersection of two sets) समज A आण B ह द न स च आह त. A आण B य स च मध ल स म ईक घटक चय स च ल A आण B य स च च छ दस च अस महणत त. त A Ç B अस ल ह त त आण तय च व चन A छ द B अस करत त.

21 उद (1) A { 1, 3, 5, 7} B {, 3, 6, 8} आत व न आक त क ढ. A आण B य द नह स च त ल 3 ह स म ईक घटक आह. \ A Ç B {3} उद () A {1, 3, 9, 11, 13} B {1, 9, 11} स च A व स च B मधय 1, 9, 11 ह स म ईक घटक आह त. \ A Ç B {1, 9, 11} पर तत B {1, 9, 11} 3 \ A Ç B B य थ B ह A च उपस च आह, ह लक ष त ठ व य. \ जर B Í A तर A Ç B B. तस च जर B Ç A B, तर B Í A B A A B B 13 6 ह लक त ठ व य. छ दस च च गत णधर म (1) A Ç B B Ç A () जर A Í B तर A Ç B A (3) जर A Ç B B तर B Í A (4) A Ç B Í A आण A Ç B Í B (5) A Ç A f (6) A Ç A A (7) A Ç f f क त व गव गळ उद हरण घ ऊन वर ल गत णधम च पडत ळ घय. ज ण न घ ऊय. व भ न न स च (Disjoint sets) समज, A { 1, 3, 5, 9} आण B {, 4, 8} ह द न स च द ल आह त. स च A व B मधय एकह स म ईक घटक न ह. महणज च त स च प र णपण भ न न क व व भक त आह त. महण न तय न व भक त क व व भ न न स च अस महणत त. य स च च व न आक त प ह. क त I : य थ A, B, C ह स च व न आक तय न द खवल आह त. तय प क क णत द न स च व भ न न आह त त ल ह. A A B C B 4 8 1

22 क त II : इ ग रज अक षर च स च ह व शवस च आह अस समज. य थ स च च घटक इ ग रज अक षर आह त. समज, LAUGH य शबद त ल अक षर च एक स च आह. आण CRY य शबद त ल अक षर च द सर स च आह. ह व भक त स च आह त, अस महणत य ईल. य द नह स च च छ द र क त आह ह अनत भव. द न स च च स य ग (Union of two sets) 13 Q E S L A U G H K B X M W Z D A I 0 J N T C R Y P V O F समज, A आण B ह द न स च आह त. य द नह स च त ल घटक न म ळ न ह ण ऱय स च ल A आण B य स च च स य ग स च महणत त. त A È B अस ल ह त त आण A स य ग B अस व चत त. A È B {x x Î A क व x Î B} उद (1) A {-1, -3, -5, 0} B {0, 3, 5} A È B {-3, -5, 0, -1, 3, 5} लक ष त घय क, A È B B È A उद () A B U श ज र ल व न आक त त दर शवल लय स च वर न ख ल ल स च य द पद धत न ल ह. (i) U (ii) A (iii) B (iv) A È B (v) A Ç B (vi) A (vii) B (viii)(a È B) (ix) (A Ç B) उकल : U {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} A {, 4, 6, 8, 10}, B {1, 3, 5, 7, 8, 10} A È B {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} A Ç B {8, 10} A {1, 3, 5, 7, 9, 11, 1} B {, 4, 6, 9, 11, 1} (A È B) {9, 11, 1} (A Ç B) {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 1} उद (3) A {1,, 3, 4, 5} B {, 3} 1 A आत य उद हरण च व न आक त प ह. 4 B 3 A È B {1,, 3, 4, 5} स च A आण स च A È B मधय न मक त च घटक आह त. 5 य वर न, जर B Í A तर A È B A B 3 5

23 स य ग स च च ग णधर म (1) A È B B È A () जर A Í B तर A È B B (3) A Í A È B, B Í A È B (4) A È A U (5) A È A A (6) A È f A ज ण न घ ऊय. स च त ल घटक च स खय (Number of elements in a set) समज A {3, 6, 9, 1,15} ह द ल ल स च आह. य स च त 5 घटक आह त. स च A मध ल घटक च स खय n (A) अश द खवत त. \ n (A) 5 समज B { 6, 1, 18, 4, 30, 36} \ n (B) 6 स य ग स च आण छ द स च य त ल घटक चय स खय वर ल स च A आण स च B व च र त घ तलय स, n (A) + n (B) (1) A È B {3, 6, 9, 1, 15, 18, 4, 30, 36} \ n (A È B) () A Ç B क ढ. महणज च स च A आण स च B मध ल स म ईक घटक प ह. A Ç B {6, 1} \ n (A Ç B) (3) लक ष त घय, n (A) आण n (B) म जत न A Ç B च घटक द नद म जल आह त. n (A) + n (B) - n (A Ç B ) तस च n (A È B ) 9 सम करण (1), () आण (3) वर न अस द सत क, \ n (A È B ) n (A) + n (B) - n (A Ç B) वर ल न यम च पडत ळ स बतचय व न आक त वर न घय. n (A), n (B) n (A È B ), n (A Ç B) \ n (A È B ) n (A) + n (B) - n (A Ç B) ह लक त ठ व य. n (A È B ) n (A) + n (B) - n (A Ç B) महणज च n (A) + n (B) n (A È B ) + n (A Ç B) आत A {1,, 3, 5, 7, 9, 11, 13} B {1,, 4, 6, 8, 1, 13} ह स च घ ऊन वर ल न यम च पडत ळ घय. ह लक त ठ व य. 14 A B

24 स च वर आध र त श ब दक उद हरण उद. ज ण न घ ऊय. एक वर ग त 70 व द थग आह त. तय प क 45 व द थय न क र क ट ह ख ळ आवडत. 5 व द थय न ख -ख ह ख ळ आवडत. अस एकह व द थग न ह क जय ल य प क एकह ख ळ आवडत न ह. तर क र क ट आण ख -ख ह द नह ख ळ आवडण ऱय मत ल च स खय क ढ. फक त क र क ट आवडण र मत ल क त? उकल : ह उद हरण आपण द न र त न स डव. र त I : वर ग त ल एक ण व द थग 70 र त II : चक रक ट आवडण ऱय व द थय च स च A म न. ख -ख आवडण ऱय व द थय च स च B म न. प रतय क व द थय वल क र क ट व ख -ख प क एक तर ख ळ आवडत. चक रक ट क व ख -ख आवडण ऱय व द थय च स खय महणज च n (A È B ) \ n (A È B ) 70 चक रक ट आण ख -ख ह द नह ख ळ आवडण ऱय मत ल च स खय n (A Ç B) n (A) 45, n (B) 5 n (A È B ) n (A) + n (B) - n (A Ç B) ह आपलय ल म ह त आह. \ n (A Ç B) n (A) + n (B) - n (A È B ) \ द नह ख ळ आवडण र मत ल 7, क र क ट आवडण र मत ल 45 आह त. \ फक त क र क ट आवडण र मत ल A Ç B ह द नह ख ळ आवडण ऱय व द थय च स च आह. \ n (A Ç B) 7 द ल ल म ह त व न आक त त दर शव नह द नह ख ळ आवडण ऱय मत ल च स खय पत ढ लप रम ण क ढत य त. n (A Ç B) x म न. n (A) 45, n (B) 5, A (45-x) x B (5-x) n (A È B ) 70 ह आपलय ल म ह त आह. \ n (A Ç B) x n (A) + n (B) - n (A Ç B) व न आक त वर न फक त क र क ट आवडण र मत ल

25 (1) जर n (A) 15, n (A È B ) 9, n (A Ç B) 7 तर n (B) क त? () एक वसत ग ह त 15 व द थग आह त, तय प क 80 व द थग चह घ त त, 60 व द थग क फ घ त त आण 0 व द थग चह व क फ ह द नह प रक रच प य घ त त, तर एकह प य न घ ण ऱय व द थय च स खय क ढ. (3) एक सपध व पर क ष ल 50 व द थग इ ग रज त उतत ण व झ ल. 60 व द थग गण त व षय त उतत ण व झ ल. 40 व द थग द नह व षय त उतत ण व झ ल. एकह व द थग द नह व षय त अनत तत ण व झ ल न ह. तर एक ण व द थग क त ह त? (4 * ) एक श ळ त ल इयतत नवव चय 0 व द थय चय आवड च सवव क षण क ल. तय प क 130 व द थय न ग र भ रमण च आवड आह अस स ग तल व 180 व द थय न आक शदर शन च आवड आह अस स ग तल. 110 व द थय न ग र भ रमण आवडत व आक शदर शनह आवडत अस स ग तल. तर क त व द थय न य द नह प क कश च च आवड न ह? क त व द थय न फक त ग र भ रमण आवडत? क त व द थय न फक त आक शदर शन आवडत? U A B (5) श ज र ल व न आक त वर न पत ढ ल सर व स च ल ह. (i) A (ii) B (iii) A È B (iv) U (v) A (vi) B (vii) (A È B) सर वस च 1.4 x y z s m n p r q t (1) ख ल ल प रशन स ठ अच क पर य य न वड. स क र ण प रशनस ग रह 1 (i) M {1, 3, 5}, N {, 4, 6}, तर M Ç N? (A) {1,, 3, 4, 5, 6} (B) {1, 3, 5} (C) f (D) {, 4, 6} (ii) P {x x ह व षम न सर ग क स खय, 1< x 5} ह स च य द पद धत न कस ल ह ल ज ईल? (A) {1, 3, 5} (B) {1,, 3, 4, 5} (C) {1, 3} (D) {3, 5} (iii) P {1,,...10}, ह क णतय प रक रच स च आह? (A) र क त स च (B) अन त स च (C) स त स च (D) य प क न ह (iv) M È N {1,, 3, 4, 5, 6} आण M {1,, 4} तर ख ल लप क N ह स च क णत? (A) {1,, 3} (B) {3, 4, 5, 6} (C) {, 5, 6} (D) {4, 5, 6} 16

26 (v) जर P Í M, तर PÇ(P È M) ह ख ल लप क क णत स च आह? (A) P (B) M (C) PÈM (D) P ÇM (vi) ख ल लप क क णत स च र क त स च आह? (A) सम तर र ष चय छ दन ब द च स च (B) सम म ळस खय च स च (C) 30 प क ष कम द वस असल लय इ ग रज मह नय च स च (D) P {x x Î I, -1< x < 1} () ख ल ल उपप रशन स ठ अच क पर य य न वड. (i) ख ल लप क क णत सम ह स च आह? (A) इ द रधनत षय त ल र ग (C) ग व त ल श म त ल क (ii) NÇW ह स च ख ल लप क क णत? (B) श ळ चय आव र त ल उ च झ ड (D) पत सतक त ल स प उद हरण (A) {1,, 3,...} (B) {0, 1,, 3,...} (C) {0} (D) { } (iii) P {x x ह indian य शबद त ल अक षर आह } तर P ह स च य द पद धत न ख ल लप क क णत? (A) {i, n, d} (B) {i, n, d, a} (C) {i, n, a} (D) {n, d, a} (iv) जर T {1,, 3, 4, 5} व M {3, 4, 7, 8} तर T È M? (A) {1,, 3, 4, 5, 7} (B) {1,, 3, 7, 8} (C) {1,, 3, 4, 5, 7, 8} (D) {3, 4} (3) एक गट त ल 100 ल क प क 7 ल क इ ग रज ब लत त आण 43 ल क फ र च ब लत त. ह 100 ल क इ ग रज क व फ र च य प क क म न एक भ ष ब लत त, तर क त ल क फक त इ ग रज ब लत त? क त ल क फक त फ र च ब लत त? आण क त ल क इ ग रज आण फ र च य द नह भ ष ब लत त? (4) प र थन व क षस वर धन सप ह त 70 झ ड ल वल तर प रज न 90 झ ड ल वल. तय प क 5 झ ड द घ न ह म ळ न ल वल, तर प र थ क व प रज य न एक ण क त झ ड ल वल? (5) जर n (A) 0, n (B) 8 व n (A È B) 36 तर n (A Ç B)? (6) एक वर ग त ल 8 व द थय प क 8 व द थय चय घर फक त क त प ळल आह, 6 व द थय चय घर फक त म जर प ळल आह. 10 व द थय चय घर क त आण म जर द नह ह प ळल आह तर क त व द थय चय घर क त क व म जर य प क एकह प र ण प ळल ल न ह? (7) पत ढ ल प रतय क उद हरण त ल स च च छ द स च व न आक त चय स ह यय न द खव. (i) A {3, 4, 5, 7} B {1, 4, 8} (ii) P {a, b, c, e, f} Q {l, m, n, e, b} 17

27 (iii) X {x x ह 80 व 100 य चय दरमय नच म ळस खय आह } U Y {y y ह 90 व 100 मध ल व षम स खय आह } (8) ख ल लप क क णत स च क णतय स च च उपस च आह त ल ह. X सर व च क न च स च. Y सर व समभत ज च क न च स च. S सर व च रस च स च. T सर व सम तरभत ज च क न च स च. V सर व आयत च स च. (9) जर M ह क णत ह एक स च अस ल, तर M È f आण M Ç f ल ह. (10 * ) 4 A B श ज र ल व न आक त वर न U, A, B, A È B आण A Ç B ह स च ल ह. (11) जर n (A) 7, n (B) 13, n (A Ç B) 4, तर n (A È B}? क त I : र क मय ज ग स च च घटक ल ह. U {1, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 1, 13, 15} A {1, 11, 13} B {8, 5, 10, 11, 15} A {...} B {...} A Ç B {...} A Ç B {...} A È B {...} A È B {...} (A Ç B) {...} (A È B) {...} पडत ळ घय : (A Ç B) A È B, (A È B) A Ç B क त II : त मचय आसप सचय 0 क ट ब कड न प ढ ल म ह त म ळव. (i) मर ठ वर तम नपत घ ण ऱय क ट ब च स खय. (ii) इ ग रज वर तम नपत घ ण ऱय क ट ब च स खय. (iii) इ ग रज व मर ठ य द नह भ ष त ल वर तम नपत घ ण ऱय क ट ब च स खय. चमळवल ल म ह त व न आक त न द खव. 18

28 व सतव स खय पर म य स खय च गत णधर म अपर म य स खय च गत णधर म करण वर गकरण च तत लन वर गकरण वर ल क र य वर गकरण च पर म य करण म ग ल इयतत मधय आपण न सर ग क स खय, प ण क स खय आण व सतव स खय य च अभय स क ल आह. N न सर ग क स खय स च {1,, 3, 4,...} W प र ण स खय स च {0, 1,, 3, 4,...} I प ण क स खय स च {..., -3,-,-1,0,1,,3...} Q पर म य स खय स च { p, p, q Î I, q ¹ 0} q R व सतव स खय स च. N Í W Í I Í Q Í R. पर म य स खय रध ल र रस ब ध : q p आण s r य पर म य स खय अस न q > 0, s > 0 (i) जर p s q r तर q p s r (iii) जर p s < q r तर q p < s r (ii) जर p s > q r तर q p > s r ज ण न घ ऊय. पर म य स खय च ग णधर म (Properties of rational numbers) a, b, c य पर म य स खय असत ल तर गत णधर म ब र ज गत ण क र 1. क रमन रप क षत a + b b + a a b b a. स हचर य (a + b) + c a + (b + c) a (b c) (a b) c 3. अव क रक a a a a 1 1 a a 4. वयसत a + (-a) 0 चल, श क य. 19 जर आठव य. a 1 a 1 (a ¹ 0)

29 क णत य ह पर म य स ख च दशय श अप र ण क र प ख ड त क वय अख ड आवतत असत. (1) 5 () 7 64 (3) ख ड त र प 0.4 (1) () (3) जर आठव य. ज ण न घ ऊय. अख ड आवतत र प अख ड आवतत दश श र प त ल पर म य स खय p q य र प त म डण. उद (1) हय आवतत दशय श अप र ण क p q उकल : समजय x र पय त ल हय. \ 10 x \ 10x -x \ 9x 7 \ x 7 9 \ उद () हय आवतत दशय श अप र ण क p q र पय त ल हय. उकल : समजय, x \ 1000 x \ 1000 x - x \ 999 x 75.0 \ x 75 \ व चय कर य..43 ह स ख य p q र पय त ल ह ण य सय ठ कय क य? 0

30 (1) द ल लय स खय त दश श च नह न तर लग च क त अ क आवतग आह त ह प ह न तय प रम ण तय स खय ल 10, 100, 1000 य प क य गय स खय न गत ण व. उद..3 य स खय त 3 ह एकच अ क आवतग आह. महण न.3 ह स खय q p र प त आणणय स ठ त ल 10 न गत ण व य स खय त, 4 ह द न अ क आवतग आह त. महण न 1. 4 ल 100 न गत ण व य स खय त 5, 1, 3 ह त न अ क आवतग आह त. महण न ल 1000 न गत ण व. () पर म य स खय चय छ द च म ळ अवयव तप स. तय त अ ण 5 य चय वयचतर क त म ळस खय नसत ल तर तय परम य स खय च दश श र प ख ड त असत. व 5 वयचतर क त म ळस खय ह छ द च अवयव अस ल तर तय स खय च दश श र प अख ड आवतग असत. सर वस च.1 1. ख ल लप क क णतय पर म य स खय च दश श र प ख ड त अस ल आण क णतय स खय च दश श र प अख ड आवतग अस ल त ल ह. (i) 13 (ii) ख ल ल पर म य स खय दश श र प त ल ह. (i) (ii) 5 99 ह लक त ठ व य. (iii) 9 16 (iii) 3 7 (iv) (iv) 4 5 (v) 11 6 (v) ख ल ल पर म य स खय p q र प त ल ह. (i) 0.6 (ii) 0.37 (iii) 3.17 (iv) (v).514 जर आठव य. ख ल ल स खय र ष वर द खवल लय व 3 ह स खय पर म य न ह त, महणज च तय अपर म य आह त. D C B O A P य स खय र ष वर OA 1 एकक अ तर आह. O चय ड व कड B ब द ह 1 एकक अ तर वर आह. B ब द च चनदव क -1 आह. P ब द च चनदव क अस न तय च व र द ध स खय C य ब द न दर शवल आह. C ब द च चनदव क - आह. तय प रम ण 3 च व र द ध स खय - 3 दर शवण र ब द D आह. 1

31 ज ण न घ ऊय. अपर म य आण व सतव स खय (Irrational and real numbers) ह स खय अपर म य आह ह अप रतयक ष स द धत द ऊन स द ध करत य त. ह पर म य स खय आह ह ग ह त धर. त q p म न. p q अस म न. ह तय पर म य स खय च स चक षप र प आह महणज च p व q मधय 1 प क ष व गळ स म ईक व भ जक न ह, p q \ P q (द नह ब ज च वर ग कर न) \ q p \ p ह समस खय आह. \ p सत द ध समस खय अ ह, महणज च ह p च व भ जक आह....(I) \ p t \ p 4t t Î I \ q 4t ( \ p q ) \ q t \ ह q च सत द ध व भ जक आह.... (II) चवध न (I) व (II) वर न ह p आण q य च स म ईक व भ जक आह. \ q ह सम स खय आह. \ q ह सम स खय आह. ह व स गत आह. क रण p मधय p आण q च 1 वयचतर क त एकह स म ईक व भ जक न ह. q \ ह पर म य स खय आह ह ग ह त चत क च आह. \ ह अपर म य स खय आह. य च पद धत न 3, 5 य अपर म य स खय आह त ह द खवत य त. तय स ठ 3 क व 5 ह, n च व भ जक अस ल तरच त n च ह व भ जक असत य न यम च उपय ग कर., 3, 5 अश स खय, स खय र ष वर द खवत य त त. ज स खय स खय र ष वर ब द न द खवत य त, त व सतव स खय आह अस महणत त. थ डकय त, स खय र ष वर ल प रतय क ब द च चनदव क ह व सतव स खय असत आण प रतय क व सतव स खय न गड त असण र ब द स खय र ष वर असत. आपलय ल म ह त आह, क प रतय क पर म य स खय व सतव स खय असत. पर तत, 3, -, p, 3 + अश व सतव स खय पर म य न ह त. महण न प रतय क व सतव स खय ह पर म य असत च अस न ह ह लक ष त ठ व.

32 अपर म य स ख य च दश श र प त म डण आपण व 3 य स खय च वर गम ळ भ ग क र पद धत न क ढ. च वर गम ळ 3 च वर गम ळ \ \ य थ भ ग क र त ल दश श च न प ढ ल अ क च स खय कध ह स पत न ह. म णज च अन त अ क च क रम म ळत. ह क रम क ह अ क चय गट चय आवर तन न तय र ह त न ह. म ण न ह स खय च दश शर प अख ड अन वतत असत., 3 य स खय अपर म य स खय आह त. म णज च आण य स द ध अपर म य स खय आह त. य वर न लक यत घयय, क अख ड अन वतत दश श र प त ल स खयय अपर म य असत. स खयय p क त I ज ड क र डब र डवर व गव गळ चर जय च वर त ळ क ढ. त न, च र वर त ळ क त चकतय क प. प रतय क चकत चय कड वर न द र फ रव न प रतय क वर त ळ क त चकत च पर घ म ज. ख ल ल स रण प र ण कर. अ. क र. चर जय वय स (d) पर घ (c) ग ण ततर c d श ज र ल स रण वर न c ह ग ण ततर d 1 7 स म प रतय क व ळ 3.1 चय जवळप स य त. 8 स म म णज स थर असत ह लक त य ईल. त ग ण ततर p य च न न दर शवत त स म 3

33 क त II p च अ द ज क मत क ढणय स ठ 11 स म, स म व 33 स म ल ब च त र च त कड घय. प रतय क त र प स न वर त ळ तय र कर. तय वर त ळ च वय स म ज व ख ल ल स रण प र ण कर. वर त ळ क र. पर घ वय स पर घ व वय स य च ग ण ततर 1 11 स म स म 3 33 स म पर घ व वय स य च ग ण ततर वर त ळ च पर घ व वय स य च ग ण ततर ह स थर स खय असत, त अपर म य असत. त स खय p य च न न दर शवल ज त. p च अ द ज क मत क व 3.14 घ त त. 7 थ र भ रत य गण त आर यभट य न इ. स. 499 मधय p च क मत अश क ढल ह त ह अपर म य स खय आह ह आपण प ह ल आह. आत + 3 ह स खय अपर म य आह क त प ह. समज, + 3 ह स खय अपर म य न ह अस म न. म णज च त पर म य अस यल हव. 7 चय जवळप स आल क य च पडत ळ घय. जर + 3 पर म य अस ल तर + 3 p q आह अस म न. \ 3 p q - ह सम करण म ळत. य थ ड व ब ज अपर म य स खय आण उजव ब ज पर म य स खय अश व स गत य त. म णज च + 3 ह पर म य स खय नस न त अपर म य स खय आह, ह स द ध ह त. तय चप रम ण 3 अपर म य आह ह द खवत य त. द न अपर म य स खय च ब र ज क व ग ण क र पर म य अस शकत ह प ढ लप रम ण पडत ळत य त. जस, + 3 +(- 3 ), , (3 + 5 ) - ( 5 ) 3, , ह लक यत ठ व य. अपर म य स ख य च ग णधर म (1) पर म य स खय व अपर म य स खय य च ब र ज क व वज ब क ह अपर म य स खय असत. () श नय तर पर म य स खय व अपर म य स खय य च ग ण क र क व भ ग क र ह स द ध एक अपर म य स खय असत. (3) द न अपर म य स खय च ब र ज, वज ब क, ग ण क र व भ ग क र ह म र पर म य क व अपर म य अस शकत त. 4

34 व सतव स खय वर ल र रस ब ध च ग णधर म ज ण न घ ऊय. 1. जर a आण b य द न व सतव स खय असत ल तर तय चय मधय a b क व a < b क व a > b य प क क णत तर एकच स ब ध असत.. जर a < b आण b < c तर a < c 3. जर a < b तर a + c < b + c 4. जर a < b अ ण जर c > 0 तर ac < bc आण जर c < 0 तर ac > bc पर म य व अपर म य स खय घ ऊन वर ल न यम पडत ळ न प ह. ऋण स खय च वर गम ळ जर a b तर b a ह आपलय ल म ह त आह. य वर न जर 5 x तर x 5 ह आपलय ल समजत. तस च आपलय ल ह म ह त आह, क क णतय ह व सतव स खय च वर ग ह न हम ॠण तर स खय य त. महणज क णतय ह व सतव स खय च वर ग कध ह ऋण नसत. पण ( -5 ) -5 \ -5 ह व सतव स खय न ह. महणज च ऋण व सतव स खय च वर गम ळ व सतव स खय नसत. सर वस च. (1) 4 ह स खय अपर म य आह ह स द ध कर. () ह स खय अपर म य स खय आह ह स द ध कर. (3) 5, 10 य स खय स खय र ष वर द खव. (4) ख ल द ल लय स खय चय दरमय नचय क णतय ह त न पर म य स खय ल ह. (i) 0.3 आण -0.5 (ii) -.3 आण -.33 (iii) 5. आण 5.3 (iv) -4.5 आण -4.6 ज ण न घ ऊय. धन पर म य स खय च म ळ (Root of positive rational number) जर x तर x क व x -, असत. आण - ह अपर म य स खय आह त ह 3 4 आपलय ल म ह त आह. 7, 8, य स रखय स खय सत द ध अपर म य असत त. n धन प ण क स खय अस न व x n a अस ल, तर x ह a च n व म ळ आह अस महणत त. ह म ळ पर म य क व अपर म य असत. उद. 5 3 \ ह 3 च 5 व म ळ पर म य आह, पण x 5 5 तर x ह अपर म य स खय आह. 5

35 करण (Surds) आपलय ल म ह त आह क 5 ह पर म य स खय आह पर तत 5 ह पर म य न ह. जय प रम ण व सतव स खय च वर गम ळ क व घनम ळ पर म य क व अपर म य अस शकत तय चप रम ण n व म ळ द ख ल पर म य क व अपर म य अस शकत. जर n ह 1 प क म ठ प ण क स खय अस ल आण a य धन व सतव स खय च n व म ळ x न द खवल तर x n a क व n a x अस ल ह त त. जर a ह धन पर म य स खय अस ल आण a च n व म ळ x ह अपर म य स खय अस ल तर x ह करण (अपर म य म ळ) आह अस म णत त. n a ह करण स खय अस ल तर य च नह ल करण च न (radical sign) महणत त. n य स खय ल तय करण च क ट (order of the surd) महणत त आण a ल करण सथ स खय (radicand) अस महणत त. (1) समज a 7, n 3, तर 3 7 ह करण आह. क रण 3 7 ह अपर म य आह. 3 3 () समज a 7 आण n 3 अस ल तर 7 3 ह अपर म य स खय न ह महण न 7 ह करण न ह. 3 (3) 8 ह करण आह क? 3 समज 8 p p 3 8. क णतय स खय च घन 8 आह? आपलय ल म ह त आह क, य स खय च घन 8 आह. 3 8 मधय a 3 8 ह पर म य स खय आह. य थ n 3 ह धन प ण क स खय आह. पर तत 8 ह स खय अपर म य 3 न ह क रण 8 च घनम ळ आह. \ 8 ह करण न ह. 4 (4) आत 8 च व च र कर, य थ a 8, करण च क ट n 4; पर तत 8 ह स खय क णतय ह पर म य स खय च च थ घ त न ह. 4 4 महणज 8 ह अपर म य स खय आह. \ 8 ह करण आह. आपण फक त क ट असण ऱय महणज 3, 7, 4 इतय द करण च व च र करण र आह त. क ट असण ऱय करण न वर ग करण महणत त. करण च स प र प कध कध करण स खय न स प र प द त य त. जस (i) (ii) , 3, 5...अश क ह करण स पय र प त ल करण आह त. तय न आणख स प र प द त य त न ह. सज त य करण (Similar or like surds), -3, 4 5 य क ह सज त य करण आह त. जर p आण q य पर म य स खय असत ल तर p a, q a य सज त य करण अ ह त अस महणत त. द न करण सज त य असणय स ठ तय च क ट सम न अस व ल गत. तस च करण स थ स खय सम न अस वय ल गत त. 6

36 45 व 80 य करण च क ट आह, महणज य च क ट सम न आह, पर तत करण सथ स खय सम न न ह त. महण न य करण सज त य न ह त अस द सत. य करण न स प र प द ऊ आण व 4 5 य करण सज त य आह त महणज 45 व 80 य करण च स प र प सज त य करण आह त. ह लक त ठ व य. स पय र प त ल करण च क ट व करण सथ स खय सम न ह त असत ल तर तय करण न सज त य करण महणत त. करण च त लन (Comparison of surds) समज a, b, k य धनव सतव स खय असलय तर ज ण न घ ऊय. a <b य वर न ak < bk म ळत. \ a < ab < b महणज a < b तर a < b उलट a < b अस ल तर a b, a > b आण a < b य शकयत प ह. a b वर न a b, a > b वर न a > b म ळत पर तत ह अशकय \ a < b म ळत. महणज a < b तर a < b य थ a आण b य व सतव स खय असलय न तय पर म य स खय क व करण अस शकत त. य च उपय ग कर न द न करण मध ल लह न-म ठ पण तप स. (i) 6, 5 5 (ii) 8 3, 19 (iii) 7, ? ? 19 49? 5 3 7? 15 19? 19 98? 75 पर तत 7 < 15 पर तत पर तत 98 > 75 \ 6 < 5 5 \ \ 7 > 5 3 क व \ शक व (6 ) (5 5 ), (7 ) (5 3 ), 7 < > 75 \ 6 < 5 5 \ 7 > 5 3 7

37 सज त य करण वर ल क र य (Operations on like surds) सज त य करण वर ब र ज, वज ब क, ग ण क र, भ ग क र य क र य करत य त त. उद (1) स प र प द : उकल : (7 + 9) उद () स प र प द : उकल : (7-9) 3-3?? क वच र कर य. उद (3) स प र प द : उकल : ( ) 8 ( ) उद (4) स प र प द : उकल : उद (5) करण च ग ण क र कर ( ) उकल : ( 7 6 ह अपर म य स खय आह.) उद (6) करण च भ ग क र कर : 15 5 उकल : (5 ह पर म य स खय आह.) उद (7) द न करण च ग ण क र क क व भ ग क र ह पर म य स खय अस शकत, ह वर ल उद हरण वर न लक त घय. 8

38 करण च पर म य करण (Rationalization of surd) द न करण च गत ण क र पर म य स खय य त अस ल तर तय प क क णतय ह एक करण स द सऱय करण च पर म य करण ग णक (Rationalizing Factor) महणत त. उद (1) य करण ल न गत णल असत 4 म ळत त. 4 ह पर म य स खय आह. \ च पर म य करण गत णक आह. उद () 8 ह गत ण क र कर ह पर म य स खय आह. \ च 8 ह पर म य करण च गत णक आह. तय प रम ण तर 8 ह करण सत द ध य करण च पर म य करण गत णक आह. क रण , ह च पर म य करण गत णक आह त क ह पडत ळ. ह लक त ठ व य. द ल लय करण च पर म य करण गत णक एकम व नसत. एख द करण द ल लय करण च पर म य करण गत णक अस ल तर त ल श नय तर पर म य स खय न गत ण न य ण र करण सत द ध द ल लय करण च पर म य करण गत णक असत. उद (3) 7 च पर म य करण गत णक ल ह. उकल : 7 9# \ ह पर म य स खय आह. \ 3 ह 7 य करण च पर म य करण गत णक आह. लक ष त घय क, महणज महणज 7 य द ल लय करण च 3 3 ह सत द ध पर म य करण गत णक अस ल. य वयचतर क त 4 3, 7 3 अस अन क गत णक म ळत ल. य प क 3 ह सव त स पय म डण त ल पर म य करण गत णक आह. उद (4) 1 5 चय छ द च पर म य करण कर. उकल : उद (5) उकल : चय छ द च पर म य करण कर अ श ल व छ द ल 5 न गत ण (य थ 7 ल 7 न गत णण पत र स आह.)

39 ह लक त ठ व य. छ द च पर म य करण करणय स ठ पर म य करण गत णक च उपय ग ह त. क णतय ह स खय च छ द पर म य स खय असण स ईच असत महण न छ द च पर म य करण करत त. (1) पत ढ ल करण चय क ट स ग. सर वस च.3 3 (i) (ii) 5 1 (iii) 10 (iv) 39 (v) 18 () पत ढ लप क क णतय स खय करण आह त ह स ग. 3 (i) 51 4 (ii) 16 5 (iii) 81 3 (iv) 56 (v) 64 (vi) (3) ख ल ल ज ड प क क णतय करण चय ज ड सज त य व क णतय व ज त य आह त ह ओळख. (i) 5, 5 13 (ii) 68, 5 3 (iii) 4 18, 7 (iv) 19 1, 6 3 (v) 5, 7 33 (vi) 5 5, 75 (4) ख ल ल करण न स प र प द. (i) 7 (ii) 50 (iii) 50 (iv) 11 (v) 168 (5) ख ल ल स खय मध ल लह नम ठ पण ठरव. (i) 7, 5 3 (ii) 47, 74 (iii) 7, 8 (iv) 5 5, 7 (v) 4 4, 9 (vi) 5 3, 9 (vii) 7, 5 (6) स प र प द. (i) (ii) (iii) (iv) (7) गत ण क र कर आण त स पय र प त ल ह. (i) (ii) (iii) (iv) (8) भ ग क र कर आण त स पय र प त ल ह (i) 98 (ii) (iii) 54 7 (iv) (9) छ द च पर म य करण कर. (i) 3 5 (ii) 1 14 (iii) 5 7 (iv) (v)

40 जर आठव य. आपलय ल ह म ह त आह, क जर a > 0, b > 0 तर ab a b ( a+ b)( a b) a b ( ) ; a a ; a a गत ण क र कर. उद (1) ( ) उद () ( 3 - )( 3-3 ) ( 3 3 ) 3 3 ( ) ज ण न घ ऊय. वर ग करण च बव पद र प (Binomial quadratic surd) y ; ह वर ग करण च शव पद र प आह त; तस च 5-3 ; 3-5 ह 4 4 सत द ध करण च शव पद र प आह त. ख ल ल गत ण क र अभय स. y ( a + b ) ( a - b ) ( a ) - ( b ) a -b y ( )( 5-3 ) ( 5 ) -( 3 ) 5-3 y ( )( 3-7 ) ( 3 ) - ( 7 ) y ( )( 3-5 ) ( 3 ) - ( 5 ) ( ) व ( 5-3 ) य शव पद करण चय ज ड च गत ण क र पर म य स खय आह. अश शव पद करण चय ज ड न अन बद ध ज ड महणत त. शव पद करण व त च अनत बद ध ज ड य द नह स खय परसपर च पर म य करण च गत णक असत त. 5-3 क व 3-5 य प क प रतय क शव पद करण ह य शव पद करण च अनत बद ध ज ड आह. तस च च अनत बद ध ज ड 7-3 आह. 31 4

41 ह लक त ठ व य. शव पद करण चय अनत बद ध ज ड त ल पद च गत ण क र न हम पर म य स खय य त. ज ण न घ ऊय. छ द च पर म य करण (Rationalization of the denominator) शव पद करण व त च अनत बद ध ज ड य च गत ण क र पर म य असत, य गत णधर म च उपय ग कर न, छ द शव पद करण असण ऱय स खय चय छ द च पर म य करण करत य त. उद.(1) उकल : य स खय चय छ द च पर म य करण कर. 5-3 य शव पद करण च अनत बद ध ज ड आह ( 5)-( 3) 8 उद () 3 + य स खय चय छ द च पर म य करण कर. 5 उकल : य शव पद करण च अनत बद ध ज ड 3-5 आह ( ) 83 5 ( 3 ) ( 5) सर वस च.4 (1) गत ण क र कर (i) 3 ( 7-3 ) (ii) ( 5-7 ) (iii) (3-3 )(4 3 - ) () ख ल ल स खय चय छ द च पर म य करण कर (i) (ii) (iii) (iv)

42 क वलम लय (Absolute value) ज ण न घ ऊय. x ह व सतव स खय अस ल तर x च क वलम लय (Absolute Value) क व स खय र ष वर ल श नय प स नच त च अ तर ½x½अस ल ह त त. ½x½ च व चन x च क वलम लय अस करत त. क वलम लय च वय खय पत ढ लप रम ण करत त. जर x > 0 तर ½x½ x जर x धन अस ल तर x च क वलम लय x असत. जर x 0 तर ½x½ 0 जर x < 0 तर ½x½ -x जर x श नय अस ल तर x च क वलम लय श नयच असत. जर x ऋण अस ल तर x च क वलम लय x चय व र द ध स खय एवढ असत. उद (1) ½3½ 3 ½-3½ -(-3) 3 ½0½ 0 क णतय व सतवस खय च क वलम लय ऋण नसत. उद () ख ल ल क मत क ढ. (i) ½9-5½ ½4½ 4 (ii) ½8-13½ ½-5½ 5 (iii) ½8½-½-3½ 5 (iv) ½8½ ½4½ उद (3) स डव ½x-5½ उकल : ½x-5½ \ x क व x \ x + 5 क व x -+5 \ x 7 क व x 3 सर वस च.5 (1) क मत क ढ. i) ½15 - ½ (ii) ½4-9½ (iii) ½7½ ½-4½ () स डव (i) ½3x-5½ 1 (ii) ½7-x½ 5 (iii) ½ 8 - x ½ 5 x (iv) ½5+ 4 ½ 5 33

43 क त (I) : श ज र ल क ड वर क ह व सतवस खय ल ह लय आह त. तय च उपय ग कर न ब र ज, वज ब क, गत ण क र व भ ग क र च द न द न उद हरण तय र कर व स डव क त (II) : सत र व त स क र ण प रशनस ग रह (1) ख ल ल प रशन चय बह पर य य उततर प क य गय पर य य न वड (i) ख ल लप क अपर म य स खय क णत? 16 (A) 5 (B) 5 (C) 3 9 (D) 196 (ii) ख ल लप क अपर म य स खय क णत? (A) 0.17 (B) (C) (D) (iii) ख ल लप क क णतय स खय च दश शर प अख ड आवतग अस ल? (A) 5 (B) 3 (C) (D) 5 (iv) स खय र ष वर ल प रतय क ब द क य दर शव त? (A) न सर ग क स खय (B) अपर म य स खय (C) पर म य स खय (D) व सतव स खय. (v) 0.4 य स खय च पर म य र प क णत? (A) 4 9 (B) (C) 9 34 (D) 36 9

44 (vi) जर n ह प र ण वर ग स खय नस ल तर n ह ख ल लप क क णत स खय अस ल? (A) न सर ग क स खय (C) अपर म य स खय (B) पर म य स खय (vii) ख ल लप क क णत स खय करण न ह? 3 (A) 7 (B) 17 3 (viii) 5 य करण च क ट क त? (D) A, B, C ह त नह पर य य अस शकत त. 3 (C) 64 (D) 193 (A) 3 (B) (C) 6 (D) 5 (ix) य शव पद करण च अनत बद ध ज ड क णत? (A) (B) (C) 3-5 (D) (x) ½1 - (13+7) 4½ च क मत क त? (A) -68 (B) 68 (C) -3 (D) 3. () ख ल ल स खय p q र प त ल ह. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (3) ख ल ल स खय दश श र प त ल ह. (ii) 9 11 (4) ह स खय अपर म य आह ह द खव. (i) -5 7 (5) ख ल ल करण स पय र प त ल ह. (i) (ii) (iii) 5 (iv) (6) ख ल ल करण च स प पर म य करण गत णक ल ह. (v) 9 8 (i) 3 (ii) 50 (iii) 7 (iv) (v) 3 7 (vi) 4 11 (7) स प र प द. (i) (ii) (iv) (v * ) (8) छ द च पर म य करण कर. (i) 1 5 (ii) 3 7 (iii) (iii) (iv) (v)

45 3 बह पद 36 चल, चर च कर य. p 3-1 p + p ; m + n 3-3 m 5 ; 6 य सर व ब ज क र श आह त. श क क : व द थग चमत न, p 3-1 p + p, m + n 3-3 m 5, 6 य प रतय क र श त ल एक क पद घय. तय पद त ल चल च घ त क स ग. म ध र चल, श क य. बह पद च ओळख बह पद वर ल शर य बह पद च क ट स शल षक भ ग क र बह पद च क मत श षस द ध त : p 3-1 p + p य र श त ल पद चय चल च घ त क अनत क रम 3,, 1 आह त. व व क : सर, m + n 3-3 m 5 य र श त ल पद चय चल च घ त क अनत क रम, 3, 5 आह त. र ह त : सर, 6 य र श मधय चल न ह. य थ x 0 अस ल ह त य त, महण न 6 य र श त ल चल च घ त क 0 आह. श क क : महणज वर ल सर व र श मधय चल च घ त क धनप ण क क व श नय, महणज च प र ण स खय आह त. जय ब ज क र श मधय चल च घ त क प र ण स खय असत त, तय र श ल बह पद (polynomial) अस महणत त. 6 ह सत द ध बह पद आह. 6, - 7, 1, 0, 3 इतय द शसथर स खय न स थ र बह पद (Constant polynomial) महणत त. y + 5 व 1-3 य बह पद आह त क य? y 1 स र : सर, y + 5 ह बह पद न ह. क रण y + 5 y + 5, य मधय y च घ त क 1 अस न त प र ण स खय न ह. ज न : सर, y 1-3 ह सत द ध बह पद न ह. क रण y 1-3 y -1-3, य थ y च घ त क - 1 अस न त प र ण स खय न ह. श क क : बह पद नसल लय क णतय ह प च ब ज क र श ल ह न तय बह पद क न ह त य च सपष ट करण द. ख ल ल प रशन च उततर व गव गळ उद हरण घ ऊन व तय वर चर च कर न श ध. प रतय क ब ज क र श ह बह पद असत क य? प रतय क बह पद ह ब ज क र श असत क य?

46 बह पद च प रक र (पद चय स खय वर न) x, 5 x 4 + x, m - 3m 1 y - y + 5, x 3-3 x + 5x प रतय क बह पद त एकच पद प रतय क बह पद त द न पद प रतय क बह पद त त न पद एकपद शव पद चत पद एक चल त ल बह पद त चय त ल चल नत स र p(x), q(m), r(y) अश प रक र दर शवत त. उद हरण र थ p(x) x 3 + x + 5x - 3 q(m) m + 1 m - 7 r(y) y + 5 ज ण न घ ऊय. एक चल त ल बह पद च क ट (Degree of a polynomial in one variable) श क क : x 7-5x + 9 य बह पद त ल चल च सव त म ठ घ त क क णत आह? ज ज : सर, सव त म ठ घ त क 7 आह. श क क : एक चल त ल बह पद मधय, चल चय सव त म ठ घ त क स तय बह पद च क ट महणत त. मग स ग बर, वर ल बह पद च क ट क त? अश क : सर, x 7-5x + 9 य बह पद च क ट 7 आह. श क क : 10 य बह पद च क ट क त? र ध : x 0 महण न 10 य बह पद च क ट 0 आह. श क क : 10 प रम ण च क णतय श नय तर स थ र बह पद च क ट 0 असत. नय बह पद च क ट शनबशचत करत य त न ह. एक प क अध क चल त ल बह पद च क ट बह पद मध ल प रतय क पद मधय असल लय चल चय घ त क च ज ब र ज सर व ध क असत, तय ब रज स तय बह पद च क ट महणत त. उद. 3m 3 n 6 + 7m n 3 - mn ह द न चल त ल बह पद आह. य बह पद च क ट 9 आह. (य थ घ त क चय ब रज , + 3 5, ) 37

47 क त I : चल x व क ट 5 असल लय एकपद, शव पद व चत पद च प रतय क एक उद हरण ल ह. एकपद द चवपद चत पद क त II : 5 क ट असल लय द न चल त ल एक द व पद च उद हरण तय र कर. बह पद च प रक र (क ट वर न) एक चल त ल बह पद 3x - 1, 7y y + y + 1, - 3x x 3 + x + x + 3, m - m 3 क ट 1 क ट क ट 3 र ष य बह पद वर ग बह पद घन बह पद स म नयर प स म नयर प स म नयर प ax + b ax + bx + c ax 3 + bx + cx + d य थ a व b सहगत णक व य थ a, b, c सहगत णक व य थ a, b, c, d सहगत णक व a 0 a 0 a 0 बह पद : a n x n + a n-1 x n a x + a 1 x + a 0 ह x य चल त ल क ट n असल ल बह पद आह. य थ a n, a n-1,..., a, a 1, a 0 ह सहग णक अस न a n 0 बह पद च प रम णर प, सहग णक र प व घ त क र प (Standard form, coefficient form and index form of a polynomial) p(x) x - 3x x 4 ह बह पद x चय घ त क चय उतरतय क रम न x 4-3x + x + 5 अश ल ह त य ईल. य बह पद त x चय त सऱय घ त च पद न ह. महणज च त 0x 3 आह अस म नत य त. ह पद घ ऊन p(x) ह बह पद x 4 + 0x 3-3x + x + 5 अश ल ह त य ईल. अश प रक र घ त क चय उतरतय क रम न ल ह ल लय बह पद ल प रम ण र प त ल बह पद महणत त. 38

48 क ह व ळ प रम णर प त ल बह पद मधल चल अधय ह त म न न त च फक त सहगत णक क रम न ल ह त त, उद हरण र थ x 3-3x + 0x - 8 ह बह पद (1, -3, 0, -8) अश ल ह त त. य ल बह पद च सहगत णक र प अस महणत त. (4, 0, -5, 0, 1) ह बह पद y ह चल व पर न 4y 4 + 0y 3-5y + 0y + 1 महणज च 4y 4-5y + 1 अश ल ह त य ईल. य र प ल बह पद च घ त क र प महणत त. उद. p(m) 3m 5-7m + 5m 3 + बह पद च सहग णकर प व प रम णर प बह पद घ त क चय उतरतय क रम न ल ह. 3m 5 + 5m 3-7m + बह पद त नसल ल पद श नय सहगत णक घ ऊन सम व ष ट कर आण त प रम णर प त ल ह. 39 3m 5 + 0m 4 + 5m 3 + 0m - 7m + द ल लय बह पद च सहगत णक र प ल ह. (3, 0, 5, 0, - 7, ) बह पद च क ट ल ह. 5 उद (1) x 3 + 3x - 5 ह बह पद सहगत णक र प त ल ह. उकल : x 3 + 3x - 5 x 3 + 0x + 3x - 5 द ल लय बह पद च सहगत णक र प (1, 0, 3, - 5) उद () (, - 1, 0, 5, 6) ह सहगत णक र प त ल बह पद घ त क र प त ल ह. उकल : बह पद च सहगत णक र प (, - 1, 0, 5, 6) घ त क र प त ल बह पद x 4 - x 3 + 0x + 5x + 6 महणज च x 4 - x 3 + 5x + 6 सर वस च ख ल ल र श बह पद आह त क त ल ह. सपष ट करण द. (i) y + 1 (ii) - 5 x (iii) x + 7x + 9 y (iv) m - + 7m - 5 (v) 10. ख ल ल प रतय क बह पद त ल m 3 च सहगत णक ल ह. (i) m 3-3 (ii) + m - 3 m 3 (iii) - 3 m3-5m + 7m ख ल ल म ह त वर न x ह चल व पर न प रतय क एक बह पद ल ह. (i) क ट 7 असल ल एकपद (ii) क ट 35 असल ल शव पद (iii) क ट 8 असल ल चत पद

49 4. ख ल ल प रतय क बह पद च क ट ल ह. (i) 5 (ii) x (iii) x (iv) m 10-7 (v) p - 7 (vi) 7y - y 3 + y 5 (vii) xyz + xy - z (viii) m 3 n 7-3m 5 n + mn 5. ख ल ल बह पद च र ष य, वर ग व घन बह पद य प रक र वगग करण कर. (i) x + 3x + 1 (ii) 5p (iii) y - 1 (iv) m 3 + 7m + 5 m - 7 (v) a (vi) 3r 3 6. ख ल ल बह पद प रम ण र प त ल ह. (i) m m (ii) - 7y + y 5 + 3y y4 - y 7. ख ल ल बह पद सहगत णक र प त ल ह. (i) x 3 - (ii) 5y (iii) m 4-3m + 7 (iv) ख ल ल सहगत णक र प त ल बह पद x चल व पर न घ त कर प त ल ह. (i) (1,, 3) (ii) (5, 0, 0, 0, - 1) (iii) (-,, -, ) 9. ख ल क ह बह पद द लय आह त. तय बह पद द ल लय च कट त य गय ठ क ण ल ह. वर ग बह पद... घन बह पद... र ष य बह पद... x + 7, x, x 3 + x + x + 5, x + 5x + 10, x 3 + 9, 3x + 5x द वपद... चत पद... एकपद... जर आठव य. (1) द न सर प ब ज क पद च ब र ज क व वज ब क करत न तय चय सहगत णक च ब र ज क व वज ब क करत त. जस, 5m 3-7m 3 (5-7)m 3 -m 3 () द न ब ज क पद च गत ण क र क व भ ग क र करत न तय चय सहगत णक च गत ण क र क व भ ग क र ह त. तस च घ त क चय न यम च ह उपय ग ह त. जस, -4y 3 y z -8y 5 z ; 1a b 3ab 4 b a 40

50 ज ण न घ ऊय. बह पद वर ल शर य बह पद च ब र ज, वज ब क, गत ण क र व भ ग क र य क र य ब ज क र श वर ल क र य प रम ण च करत त. उद (1) 7a + 5a + 6 मध न 5a - a वज कर. उकल : (7a + 5a + 6) - (5a - a) 7a + 5a + 6-5a + a 7a - 5a + 5a + a + 6 a + 7a + 6 उद () - a 5a -10a 3 उद (3) (m - 5) (m 3 + m - )? उकल : (m - 5) (m 3 + m - ) m (m 3 + m - ) - 5 (m 3 + m - ) m 5 + m 3 - m - 5m 3-10m + 10 } (पह लय बह पद त ल प रतय क पद न द सऱय बह पद स गत णल.) m 5 + m 3-5m 3 - m - 10m + 10 (सर प पद च एकत म डण क ल.) m 5-3m 3 - m - 10m + 10 गत ण क र च क ट 5 आह ह लक ष त ठ व य. उद (4) 3m n + 5mn - 7mn आण m n - mn + mn य च ब र ज कर. उकल : (3m n + 5mn - 7mn) + (m n - mn + mn) 3m n + 5mn - 7mn + m n - mn + mn 3m n + m n + 5mn - mn - 7mn + mn (सर प पद च एकत म डण क ल.) 5m n + 4mn - 6mn (सर प पद च ब र ज क ल.) 41

51 अस ल? व च र कर य. एक बह पद च क ट 3 व द सऱय बह पद च क ट 5 अस ल तर बह पद चय गत ण क र च क ट क त गत णय व गत णक बह पद चय क ट आण तय चय गत ण क र च क ट य चय मधय क णत स ब ध असत? उद (5) ( + x ) (x + ) ह भ ग क र कर आण भ जय भ जक भ ग क र + ब क य सवर प त उततर ल ह. उकल : प रथम p(x) + x ह भ जय बह पद प रम ण र प त ल ह + x x + 0x + x - 4 x + ) x + 0x + र त I : - x + 4x x x भ जय भ जक भ ग क र + ब क + x (x + ) (x - 4) + 10 q(x), भ जक (x + ) s(x), भ ग क र x - 4 व r(x), ब क 10 p(x) q(x) s(x) + r(x). र त II : भ ग क र च र ष य पद धत (x + ) (x + ) ह भ ग क र कर. x ह पद म ळवणय स ठ (x + ) ल x न गत ण न 4x वज कर. x(x+) - 4x x \ भ जय x + x(x+) - 4x +...(I) आत -4x ह पद म ळवणय स ठ (x+) ल -4 न गत ण व 8 म ळव. -4 (x+) + 8-4x (x + ) x(x+) - 4(x+) (x + ) (x + ) (x - 4) + 10 भ जय भ जक भ ग क र + ब क....(I) वर न 4

52 ह लक त ठ व य. य बल डच भ ग क र स द ध त जर s(x) आण p(x) य द न बह पद असत ल आण s(x) च क ट p(x) चय क ट एवढ क व तय प क ष ज सत अस ल, आण s(x) ल p(x) न भ ग न य ण र भ ग क र q(x) अस ल, तर s(x) p(x) q(x)+r(x). य थ r(x) 0 क व r(x) च क ट p(x) चय क ट प क ष कम असत. सर वस च 3. (1) द ल ल अक षर व पर न उततर ल ह. (i) ल ट ग व त a झ ड आह त. झ ड च स खय दरवरग b न व ढत, तर x वर ष न तर तय ग व त क त झ ड असत ल? (ii) कव यत स ठ एक र ग त y मत ल अश x र ग क लय. तर कव यत स ठ एक ण क त मत ल हजर ह त? (iii) एक द न अ क स खय चय एकक व दशक सथ नच अ क अनत क रम m व n आह, तर त द न अ क स खय दर शवण र बह पद क णत? () ख ल ल बह पद च ब र ज कर. (i) x 3 - x - 9 ; 5x 3 + x + 9 (ii) - 7m 4 + 5m 3 + ; 5m 4-3m 3 + m + 3m - 6 (iii) y + 7y + 5 ; 3y + 9 ; 3y - 4y - 3 (3) पह लय बह पद त न द सर बह पद वज कर. (i) x - 9x + 3 ; - 19x x (ii) ab + 3a b - 4ab ; 3ab - 8ab + a b (4) ख ल ल बह पद च गत ण क र कर. (i) x ; x - x -1 (ii) x 5-1 ; x 3 +x + (iii) y +1; y - y 3 + 3y (5) पह लय बह पद ल द सऱय बह पद न भ ग व उततर भ जय भ जक भ ग क र + ब क य र प त चलह. (i) x 3-64; x - 4 (ii) 5x 5 + 4x 4-3x 3 + x + ; x - x (6 * ) ख ल ल म ह त पद वल चय र प त ल ह. पद वल ल स प र प द. एक आयत क त श त च ल ब (a + 3b ) म टर आण र द (a + b ) म टर आह. श तकऱय न श त मधय (a - b ) म टर ब ज असल लय च रस क त ज ग वर घर ब धल, तर उरल लय त च क ष त फळ क त? 43

53 क त : ख ल ल उत र व च व च कट त य गय र श ल ह व चर च कर. च रळस ग व क रडव ह श त करण ऱय ग व दच 5 एकर श त आह. तय चय घर पतन, मत ल व तय च व द ध आई आह. तय न श त स ठ ब क च सवव ल ख र पय कर ज, द.स.द.श. 10 य दर न घ तल. तय न श त त ल x एकर जम न त स य ब न आण y एकर जम न त क प स व त र य च प क घ तल. श त स ठ आल ल खर च पत ढ लप रम ण आह. चबय ण स ठ तय न एक ण र.10,000 द ल. स य ब न प क स ठ खत व क टकन शक य स ठ 000 x र पय आण मजत र व मश गत य स ठ 4000 x र पय खर च झ ल. क प स व त र य प क स ठ खत व क टकन शक य च खर च 8000 y र पय आण मजत र व मश गत य स ठ 9000 y र पय खर च झ ल. त स ठ एक ण खर च क त आल त x आण y व पर न ल ह x x y + र पय तय चय श त त स य ब नच उतपन न 5 x क व टल न घ ल. त 800 र. प रत क व टल प रम ण व कल ग ल. क पस च उतपन न 5 3 y क व टल न घ ल व त 5000 र. प रत क व टलप रम ण व कल ग ल. तत र च उतपन न 4y क व टल न घ ल व त 4000 र. प रत क व टलप रम ण व कल. सर व श तम ल च व क र झ लय वर तय त न क त र पय एक ण उतपन न आल. त x आण y चय पद वल र प त ल ह. + + र पय स शल षक भ ग क र पद धत (Synthetic Division) ज ण न घ ऊय. एक बह पद ल द सऱय बह पद न कस भ ग यच ह आपलय ल म ह त आह. आत आपण भ जक x + a क व x - a बह पद अस ल तर भ ग क र च स प पद धत समज न घ ऊ. उद (1) (3x 3 + x - 1) य बह पद ल (x + ) न भ ग. उकल : प रथम भ जय बह पद प रम ण र प त ल ह न न तर त सहगत णक र प त ल ह. भ जय च प रम णर प 3x 3 + x - 1 3x 3 + x + 0 x - 1 \ भ जय बह पद च सहगत णक र प (3,, 0, - 1) भ जक बह पद x + 44

54 ख ल ल प यऱय न स शल रक पद धत न भ ग क र कर. (1) ब ज ल द खवलय प रम ण एक उभ व एक आडव अश द न र ष क ढ. () भ जक x + अस न च व र द ध स खय - आह. पह लय ओळ त उभय र ष चय ड व कड - ल ह.आडवय र ष चय वर पह लय ओळ त भ जय बह पद च सहगत णक र प ल ह पह ल ओळ द सर ओळ त सर ओळ पह ल ओळ त सर ओळ (3) आडवय र ष चय ख ल महणज त सऱय ओळ त भ जय त ल पह ल सहगत णक तस च ल ह. (4) त सऱय ओळ त ल 3 व भ जक त ल - य च गत ण क र-6. ह द सऱय ओळ त ल य सहगत णक ख ल ल ह. न तर आण -6 य च ब र ज -4 ह त सऱय ओळ त ख ल ल ह ब क य प रम ण गत ण क र व ब रज कर न; श वटच ब र ज कर न आल ल स खय ह भ ग क र त ल ब क असत. य थ ब क - 17 आह. (3, - 4, 8) ह भ ग क र च सहगत णक र प ह य. \ भ ग क र 3x - 4x + 8 व ब क x 3 + x - 1 (x + )(3x - 4x + 8) - 17 य पद धत ल भ ग क र च स शल षक पद धत महणत त. ह भ ग क र र ष य पद धत न पत ढ लप रम ण करत य ईल. 3x 3 + x - 1 3x (x + ) - 6x + x -1 3x (x + ) - 4x - 1 3x (x + ) - 4x -8x + 8x - 1 3x (x + ) - 4x (x + ) + 8x - 1 3x (x + ) - 4x (x + ) + 8x x (x + ) - 4x (x + ) + 8 (x + ) - 17 \ 3x 3 + x - 1 (x + )(3x - 4x + 8)

55 उद () (y 4-3y 3 + 5y - 4) (y - 1) ह भ ग क र कर. उकल : स श ल षक पद धत : भ ज य y 4-3y 3 + 5y - 4 y 4-3y 3 + 0y + 5y - 4 भ जक y च व र द ध स ख य 1 आह ब क भ ग क र च सहग णक र प (, -1, -1, 4) आह. भ ग क र y 3 - y - y + 4 व ब क 0 रल ष य पद धत : y 4-3y 3 + 5y - 4 y 3 ( y - 1)+ y 3-3y 3 + 5y - 4 y 3 ( y - 1) - y ( y - 1) - y + 5y - 4 y 3 ( y - 1) - y ( y - 1) - y ( y - 1) + 4y - 4 (y 3 - y - y + 4) (y - 1) हल लक त ठल व य. स श षक पद धत न भ ग क र करत न फक त x + a क व x - a य र प त ल ज य बह पद च क ट 1 आह अस च भ जक घ तल आह त. सर वस च ख ल ल भ ग क र स श षक पद धत न आण र ष य पद धत न कर. भ ग क र आण ब क ल ह. (i) (m - 3m + 10) (m - 5) (ii) (x 4 + x 3 + 3x + 4x + 5) (x + ) (iii) (y 3-16) (y - 6) (iv) (x 4 + 3x 3 + 4x - x ) (x + 3) (v) (x 4-3x - 8) (x + 4) (vi) (y 3-3y + 5y - 1) (y - 1) बह पद च क मत (Value of polynomial) ज ण न घल ऊय. बह पद त ल चल ल एख द क मत द ल क त य बह पद च ह एक क मत म ळत. उद हरण र थ, x + 7 य बह पद त x ल ह क मत द ल, तर त य बह पद च 9 ह क मत म ळत. p(x) य बह पद त x ल a ह क मत द ऊन य ण र बह पद च क मत p(a) न दर शवत त. 46

56 उद (1) p(x) x -3x + 5 य बह पद च क मत x असत न क ढ. बह पद p(x) x - 3x + 5 य बह पद मधय x ठ व न, p() p() 7 उद () y - असत न बह पद p(y) y 3 - y + 7 च क मत क ढ. उकल : p(y) y 3 - y + 7 p(- ) (- ) 3 - (- ) + 7 (- 8) - (- ) y - असत न बह पद च क मत आह. उद (3) p(x) x - x 3 + x + य बह पद कर त p(0) क ढ. उकल : p(x) x - x 3 + x + p(0) उद (4) जर m - am + 7 य बह पद च क मत m - 1 असत न 10 अस ल, तर a च क मत क ढ. उकल : p(m) m - am + 7 p(- 1) (- 1) - a (- 1) पर तत p(- 1) 10 (द ल ल आह.) 1 + a a a a 10-8 a

57 सर वस च 3.4 (1) x 0 असत न x - 5x + 5 य बह पद च क मत क ढ. () जर p(y) y - 3 y + 1 तर p (3 ) क ढ. (3) जर p(m) m 3 + m - m + 10 तर p(a) + p(- a)? (4) जर p(y) y 3-6y - 5y + 7 तर p() क ढ. ह लक त ठ व य. चल चय एख द क मत स ठ बह पद च क मत क ढत न प रतय क पद त x चय ज ग द ल ल क मत भर न तय र श च क मत क ढ यच असत. श ष स द ध त (Remainder Theorem) ज ण न घ ऊय. p(x) य बह पद ल (x + a) न भ गलय स उरण र ब क आण य बह पद त x ल -a ह क मत द ऊन य ण र तय बह पद च क मत य च परसपर स ब ध असत. ह स ब ध ज णणय स ठ ख ल ल उद हरण अभय स. उद. p(x) (4x - x + ) ल (x + 1) न भ ग. [य थ (x + a) महणज (x + 1) आह ह लक ष त ठ व य.] उकल : भ जय बह पद 4x - x + ह च उद हरण स शल रक भ ग क र पद धत न कर. भ जक बह पद x + 1 p(x) च सहगत णक र प (4, -1, ) भ ग क र 4x - 5 भ जक x + 1) 4x - x + - 4x + 4x x x भ जय ब क भ ग क र 4x - 5 व ब क 7... (I) भ जक बह पद x च व र द ध स खय ब क भ ग क र 4 x - 5 ब क 7 48

58 आत आपण ब क आण भ जय बह पद च क मत य मध ल स ब ध बघ. भ जय बह पद च महणज 4x - x + य बह पद च x -1 असत न क मत क ढ. p(x) 4x - x + p(-1) 4 (- 1) - (- 1) x - 1 असत न बह पद p(x) च क मत 7 आह.... (II) महण न व ध न (I) व (II) वर न, p(x) 4x - x + य बह पद ल (x + a) न महणज च य थ x + 1 न भ ग न म ळण र ब क आण x - 1 असत न p(x) य बह पद च क मत महणज च p(-1) सम न आह त. य वर न पत ढ ल गत णधर म लक ष त य त. p(x) य बह पद ल (x + a) न भ गलय स उरण र ब क ह p(-a) एवढ, महणज च p(x) मधय x -a म ड न य ण ऱय बह पद चय क मत एवढ असत. ( श ष य शबद च अर थ ब क अस आह.) य गत णधर म ल श ष स द ध त महणत त. य क ल डच भ ग क र च न यम व पर न ह गत णधर म स द ध कर. p(x) ल (x + a) न भ गलय स p(x) q(x) (x + a) + r(x) [q(x) भ ग क र, r(x) ब क ] जर, r(x) ¹ 0, तर न यम प रम ण r(x) च क ट 1 प क ष कम महणज 0 आह. महण न r(x) ह व सतव स खय आह. r(-a) ह सत द ध व सतव स खय आह. आत, p(x) q(x) (x + a) + r(x)...(1) य मधय x -a क मत घ ऊन p(-a) q(-a) (a - a) + r(-a) q(-a) 0 + r(-a)...() \ p(-a) r(-a)...(1) आण () वर न 49

59 क त : ख ल ल उद हरण च पडत ळ घय. (1) p(x) 3x + x + 7 य बह पद स x + य बह पद न भ ग आण ब क क ढ. () x - असत न p(x) 3x + x + 7 य बह पद च क मत क ढ. (3) आत भ ग क र त म ळ ल ल ब क ह p(-) च क मत आह क? आणख एक उद हरण घ ऊन वर लप रम ण पडत ळ घय. उद (1) x 4-5x - 4x य बह पद स x + 3 न भ गलय स य ण र ब क क ढ. उकल : श ष स द ध त न स शल षक भ ग क र पद धत न भ जय बह पद p(x) x 4-5x - 4x भ जक x + 3 प रम ण र प x 4 + 0x 3-5x - 4x + 0 सहगत णक र प (1, 0, -5, -4, 0) x - 3 घ ऊ. p(x) x 4-5x - 4x p(-3) (-3) 4-5(-3) - 4(-3) p(-3) ब क ब क उद () श ष स द ध त च उपय ग कर न x 3 - x - 4x - 1 य बह पद स x - 1 न भ गलय स य ण र ब क क ढ. उकल : p(x) x 3 - x - 4x - 1 भ जक x - 1 x 1 घ ऊ. श ष स द ध त नत स र ब क p(1) श षस द ध त नत स र ब क - 6 p(1) उद (3) जर t 3-3t + kt + 50 य बह पद स (t-3) न भ गलय वर ब क 6 उरत अस ल, तर k च क मत क ढ. उकल : चदल लय बह पद ल (t-3) न भ गलय वर ब क 6 उरत ह द ल आह. महण न द ल लय भ जय बह पद च क मत t 3 असत न क ढ. p(t) t 3-3t + kt + 50

60 य त. श ष स द ध त नत स र ब क p(3) k k k k k k 1 3k + 50 k 1 3 पर तत ब क 6 द ल आह. k 4 ह लक त ठ व य. श ष स द ध त : p(x) ह क णत ह बह पद अस न a ह व सतव स खय अस ल आण जर p(x) ल (x + a) न भ गल तर य ण र ब क ह p(-a) एवढ असत. p(x) s(x) (x - a) + r(x) r(x) च क ट < 1 क व r(x) 0 य सम करण त x a घ ल न p(a) 0 + r (a) r (a) म ळत. r(a) च क ट 0 क व r(a) 0 महणज च (x - a) ह p(x) च अवयव आह अस लक ष त अवयव स द ध त (Factor Theorem) ज ण न घ ऊय. जर 1 ल 7 न भ गल तर ब क 0 य त. महण न आपण 7 ह 1 च अवयव आह अस महणत. तय चप रम ण द ल लय बह पद ल भ जक बह पद न भ गलय स ब क 0 आल तर त बह पद द ल लय बह पद च अवयव आह अस म णत त. उद (1) p(x) (x 3 + 4x - 5) य बह पद स (x - 1) न भ गलय स य ण र ब क क ढ. (x - 1) ह p(x)च अवयव आह क ह ठरव. उकल : p(x) x 3 + 4x - 5 p(1) (1) 3 + 4(1) य थ, श ष स द ध त नत स र ब क 0 (x - 1) ह p(x) य बह पद च अवयव आह. 51 उद () p(x) x 3 + 4x - 5 य बह पद ल x + न भ गलय स य ण र ब क क ढ. (x + ) ह p(x)च अवयव आह क ह ठरव. उकल : p(x) x 3 + 4x - 5 p(-) (-) 3 + 4(-) - 5 p(-) श ष स द ध त नत स र ब क -1 आल. य थ ब क ¹ 0 (x + ) ह p(x) य बह पद च अवयव न ह. क त (x - 1) ह x 3 + 4x - 5 य बह पद च अवयव आह क ह पडत ळ.

61 ह लक त ठ व य. p(x) ह बह पद अस न a ह क णत ह व सतव स खय अस ल आण जर p(a) 0 अस ल तर (x - a) ह p(x) च अवयव असत. य उलट (x - a) ह p(x) य बह पद च अवयव अस ल तर p(a) 0 असत. उद (1) अवयव स द ध त च उपय ग कर न, x - ह x 3 - x - 4 य बह पद च अवयव आह क त ठरव. उकल : p(x) x 3 - x - 4 भ जक x - p() अवयव स द ध त नत स र, (x - ) ह (x 3 - x - 4) य बह पद च अवयव आह. उद () जर (x - 1) ह (x 3 - x + mx - 4) च अवयव अस ल तर m च क मत क ढ. उकल : (x - 1) ह p(x) च अवयव आह. p(1) 0 p(x) x 3 - x + mx - 4 p(1) m m m m m 5 क त : आपण क रडव ह श त करण ऱय ग व दचय श त चय स दर भ त बह पद चय र प त श त च खर च व उतपन न य ब ब प ह लय ह तय. तय न ब क च कर ज सवव ल ख र पय घ तल व त 10% वय जदर न परत क ल ह त. ब य ण स ठ खर च 10,000 र पय, स य ब नचय प क स ठ खत -क टकन शक स ठ 000x र पय व तय चय मश गत स ठ 4000x र पय खर च आल ह त. क प स व त र य प क स ठ खत - क टकन शक स ठ 8000y र पय व मश गत स ठ 9000y र पय एवढ खर च क ल ह त. एक ण उतपन न 14000x y y एवढ झ ल. 3 x, y 3 य क मत घ ऊन ग व दचय श त च जम खर च ल ह न क ढ. उकल : जम खच म 1,5,000 र पय ब क च कर ज 1,37,000 र पय ब क च वय ज सह परतफ ड. ` स य ब नच उतपन न ` ब य ण स ठ ` क पस च उतपन न ` स य ब न:खत व क टकन शक ` तत र च उतपन न ` स य ब न: मजत र व मश गत ` एक ण जम ` क प स व त र : खत व क टकन शक ` ` 5 क प स व त र : मजत र व मश गत एक ण खर च

62 सर वस च 3.5 (1) x च द ल ल क मत घ ऊन x - x य बह पद च क मत क ढ. (i) x 3 (ii) x - 1 (iii) x 0 () ख ल ल प रतय क बह पद कर त p(1), p(0) आण p(- ) क ढ. (i) p(x) x 3 (ii) p(y) y - y + 5 (iii) p(x) x 4 - x - x (3) जर m 3 + m + a य बह पद च क मत m असत न 1 आह, तर a च क मत क ढ. (4) जर mx - x + 3 य बह पद करत p(- 1) 7 अस ल तर m च क मत क ढ. (5) ख ल लप क पह लय बह पद ल द सऱय बह पद न भ गलय स, य ण र ब क श ष स द ध त च उपय ग कर न क ढ. (i) (x - 7x + 9) ; (x + 1) (ii) (x 3 - x + ax - a) ; (x - a) (iii) (54m m - 7m + 5) ; (m - 3) (6) y 3-5y + 7y + m य बह पद स y + न भ गलय स ब क 50 उरत, तर m च क मत क ढ. (7) अवयव स द ध त च उपय ग कर न, x + 3 ह x + x - 3 च अवयव आह क त ठरव. (8) जर x - ह x 3 - mx + 10x - 0 य बह पद च अवयव अस ल तर m च क मत क ढ. (9) ख ल ल उद हरण त q(x) ह p(x) च अवयव आह क व न ह ह अवयव स द ध त न ठरव. (i) p(x) x 3 - x - x - 1, q(x) x - 1 (ii) p(x) x 3 - x - 45, q(x) x - 3 (10) (x + 1) न (x ) ल भ गलय स य ण र ब क क ढ. (11) m - 1 ह m 1-1 व m - 1 य बह पद च अवयव आह ह द खव. (1 * ) जर x - आण x - 1 ह द नह nx - 5x + m य बह पद च अवयव असत ल तर द खव क m n (13) (i) जर p(x) + 5x तर p() + p(- ) - p(1) क ढ. (ii) जर p(x) x x + 5 तर p(5 3 ) क ढ. जर आठव य. म ग ल इयतत त आपण बह पद च अवयव कस क ढ व य च अभय स क ल आह. क ह उद हरण प ह. अवयव क ढ. उद (1) 4x - 5 उद () 3x + 7x + (x) -(5) 3x + 6x + x + (x + 5) (x - 5) 3x(x + ) +1(x + ) (x + ) (3x + 1) 53

63 उद (3) 63x + 5x - उद (4) 6x - 5x x + 14x - 9x - 6x - 9x + 4x - 6 7x(9x + ) -1(9x + ) 3x(x - 3) +(x - 3) (9x + ) (7x - 1) (x - 3) (3x + ) ज ण न घ ऊय. बह पद च अवयव (Factors of polynomials) क ह व ळ द ल लय बह पद च र प तर ax + bx + c अस करत य त. तय मत ळ त च अवयव श धण स प ज त. उद (1) (y -3y) - 5(y -3y) - 50 च अवयव क ढ. उकल : द ल लय बह पद त (y -3y) x म न. \ (y -3y) - 5(y -3y) - 50 x - 5x - 50 x - 10x + 5x - 50 x(x - 10) +5(x - 10) (x - 10) (x + 5) (y -3y - 10) (y -3y + 5) [y -5y + y - 10] (y -3y + 5) [y(y - 5) +(y - 5)] (y -3y + 5) (y - 5) (y + ) (y -3y + 5) उद () अवयव प ड. (x + ) (x - 3)(x - 7) (x - ) + 64 उकल : (x + ) (x - 3)(x - 7) (x - ) + 64 (x + ) (x - 7) (x - 3) (x - ) + 64 (x - 5x - 14) (x - 5x + 6) + 64 (m - 14) (m + 6) (x - 5x स ठ m म न न.) m - 14m + 6m m - 8m - 0 (m - 10) (m + ) (x - 5x - 10) (x - 5x + )... m चय ज ग x - 5x ल ह न सर वस च 3.6 (1) ख ल ल बह पद च अवयव क ढ. (i) x + x - 1 (ii) m + 5m - 3 (iii) 1x + 61x + 77 (iv) 3y - y - 1 (v) 3 x + 4x + 3 (vi) 1 x - 3x

64 () ख ल ल बह पद च अवयव क ढ. (i) (x - x) -8 (x - x) + 1 (ii) (x - 5) -(5x - 5) - 4 (iii) (x - 6x) -8 (x - 6x +8) - 64 (iv) (x -x +3) (x -x +5) - 35 (v) (y + ) (y - 3)(y + 8) (y + 3) + 56 (vi) (y +5y) (y +5y -) - 4 (vii) (x - 3)(x - 4) (x - 5) - 6 स क र ण प रशनस ग रह 3 (1) ख ल ल प रतय क प रशन स ठ द ल लय पर य य प क अच क पर य य न वड. (i) ख ल लप क बह पद क णत? (A) x y (B) x (ii) 7 य बह पद च क ट क त? (A) 1 (iii) 0 बह पद च क ट क त असत? - 3x (C) x (D) x + 1 (B) 5 (C) (D) 0 (A) 0 (B) 1 (C) न शशचत करत य त न ह (D) क णत ह व सतव स खय (iv) x + 5x य बह पद च क ट क त? (A) 3 (B) (C) 5 (D) 7 (v) x 3-1 य बह पद च सहगत णक र प क णत? (A) (1, - 1) (B) (3, - 1) (C) (1, 0, 0, - 1) (D) (1, 3, - 1) (vi) p(x) x x + 3 तर p(7 7 )? (A) 3 (B) 7 7 (C) (D) 49 7 (vii) x 3 + x य बह पद च x - 1 असत न क मत क त? (A) 4 (B) (C) - (D) - 4 (viii) 3x + mx य बह पद च x - 1 ह अवयव अस ल तर m च क मत क त? (A) (B) - (C) - 3 (D) 3 (ix) (x - 3) (x - 7x 3 + 4) ह गत ण क र कर न म ळण ऱय बह पद च क ट क त? (A) 5 (B) 3 (C) (D) 0 55

65 (x) ख ल लप क र ष य बह पद क णत? (A) x + 5 (B) x + 5 (C) x (D) x () ख ल ल प रतय क बह पद च क ट ल ह. (i) 5 +3x 4 (ii) 7 (iii) ax 7 +bx 9 {a, b य शसथर स खय आह त.} (3) ख ल ल बह पद प रम ण र प त ल ह. (i) 4x +7x 4 -x 3 -x+9 (ii) p+p 3 +10p +5p 4-8 (4) ख ल ल बह पद सहगत णक र प त ल ह. (i) x (ii) m 5 +m +3m+15 (5) ख ल ल सहगत णक र प त ल बह पद x ह चल व पर न घ त क र प त ल ह. (i) (3, -, 0, 7, 18) (ii) (6, 1, 0, 7) (iii) (4, 5, -3, 0) (6) ब र ज कर. (i) 7x 4 -x 3 +x+10 ; 3x 4 +15x 3 +9x -8x+ (ii) 3p 3 q+p q+7 ; p q+4pq-p 3 q (7) वज ब क कर. (i) 5x -y+9 ; 3x +5y-7 (8) ख ल ल गत ण क र कर. (i) (m 3 -m+3)(m 4 -m +3m+) (ii) x +3x+5 ; x -x+3 (ii) (5m 3 -)(m -m+3) (9) 3x 3-8x +x+7 य बह पद ल x-3 य बह पद न स शल रक पद धत न भ ग व ब क क ढ. (10) m चय क णतय क मत कर त x+3 ह x 3 -mx+1 य बह पद च अवयव अस ल? (11) 016 वर ष चय श वट क व ड, वर ड व च खल ग व च ल कस खय अनत क रम 5x -3y, 7y +xy आण 9x +4xy ह त. 017 वर ष चय सत र व त ल त नह ग व त न श क षण व र जग र कर त अनत क रम x +xy-y, 5xy व 3x +xy म णस द सऱय ग व ग ल. तर 017 चय सत र व त ल तय ग व च एक ण ल कस खय क त ह त? (1) bx + x + 5 व bx 3 -x+5 य बह पद न x-3 न भ गलय स य ण र ब क अनत क रम m व n अस ल आण जर m - n 0 अस ल तर b च क मत क ढ. (13) सरळर प द. (8m + 3m - 6) - (9m - 7) + (3m - m + 4) (14) x + 13x + 7 मध न क णत बह पद वज कर व महणज 3x + 5x - 4 ह बह पद म ळ ल? (15) 4m + n + 3 य र श त क णत र श म ळव व महणज 6m + 3n + 10 ह बह पद म ळ ल? 56

66 4 ग ण ततर व प रम ण ग ण ततर सम न ग ण ततर वर ल शर य पर पर त प रम ण चल, श क य. ग ण ततर च ग णधर म सम न ग ण ततर च स द ध त ग ण ततर त ल k पद धत जर आठव य. आपण म ग ल इयतत मधय गत ण ततर व प रम ण य च अभय स क ल आह. तय वर आध र त उद हरण ह आपण स डवल आह त. उद व मलन तय र क ल ल रवय च ल ड र चकर असत त. त एक व ट त प, 3 व ट रव आण व ट स खर घ ऊन ल ड बनव त. य थ रव आण स खर य च प रम ण 3: क व 3 आह. जर ल डव स ठ 1 व ट रव घ तल तर क त स खर ल ग ल? स खर x व ट ल ग ल अस म न. य वर न 3 1 \ 3x 4 \ x 8 x महणज 1 व ट रव घ ऊन ल ड करणय स ठ 8 व ट स खर ल ग ल. ह च उद हरण पत ढ लप रम ण ह करत य त. रव 3k व ट अस ल तर स खर k व ट ल ग ल. क रण 3 k k 3 3k 1 अस ल तर k 4 \ k 8 व ट स खर ल ग ल. ज ण न घ ऊय. ग ण ततर व प रम ण (Ratio and proportion) द न स खय चय गत ण ततर च स कलपन त न क व अध क स खय स ठ व सत र त करत य त. ल डव च उद हरण प ह. त प, रव आण स खर य च प रम ण 1 : 3 : आह. य थ त प व रव य च गत ण ततर 1 : 3 आण रव व स खर य च गत ण ततर 3 : आह. ह म ह त एक च प रम ण न द ल आह. त प 1k k व ट, रव 3k व ट आण स खर k व ट अस म नत य ईल. आत 1 व ट रव अस ल तर ल डव स ठ क त व ट त प व क त व ट स खर ल ग ल ह क ढत य ईल. क रण 3k 1 \ k 4 आण k 8 महणज 4 व ट त प आण 8 व ट स खर ल ग ल. 57

67 ह च कलपन च र व अध क ब ब चय प रम ण स ठ द ख ल व परत य त. जर a, b, c, d य च र स खय च प रम ण : 3 : 7 : 4 अस अस ल तर तय स खय m, 3m, 7m, 4m म न. द ल ल म ह त व पर न m च क मत क ढत य ईल. उद हरण र थ, य च र स खय च ब र ज 48 अस ल तर तय च र स खय क ढ. m + 3m + 7m + 4m 16 m 48 \ m 3 \ m 6, 3m 9, 7m 1, 4m 1 अश स खय म ळ लय. \ इष ट स खय 6, 9, 1, 1 उद (1) खत चय 18 : 18 : 10 य प रक र मधय न यट र जनच स यत ग 18%, फ सफरसच स यत ग 18% आण प ट श यमच स यत ग 10% असत त. उरल ल भ ग इतर पद थ च असत. तर तय प रक रचय 0 क ल ग र म खत मधय प रतय क प रक रचय स यत ग च वस त म न क त अस ल? उकल : 0 क ग र खत त ल न यट र जनचय स यत ग च वस त म न x क ग र म न. 18 x x 100 \ न यट र जनच स यत ग 3.6 क ग र अस ल. फ सफरसचय स यत ग च शतम न 18 ह च असत. \ फ सफरसच स यत ग 3.6 क ग र अस ल. 0 क ग र खत त ल प ट श यमचय स यत ग च वस त म न y क ग र म नलय स 10 y \ y \ प ट श यमच स यत ग क ग र अस ल. समप रम ण एक म टरग ड 1 ल टर प ट र लमधय 10 क म अ तर ज त. महण न 0 ल टर प ट र लमधय त ग ड क म अ तर क प ल. तर 40 ल टर प ट र लमधय त च ग ड क म अ तर ज ईल. वर ल म ह त स रण र प त ल ह. 36. प ट र ल x ल टर अ तर y क म x y x y k ग ड न व परल ल प ट ल (ल टरमधय ) आण त वढ प ट लमधय क पल ल अ तर (क ल म टरमधय ) य र श च ग ण ततर स थर आह. अश व ळ तय द न र श समप रम ण त आह त, म णज च य द न र श समचलन त बदलत त अस म णत त. 58

68 वयसतप रम ण एक म ट र ल त श 50 क म व ग न 100 क म ज णय स द न त स ल गत त. एक ब लग ड च व ग त श 5 क म आह, तर त वढ च अ तर ज णय स ब लग ड ल 0 त स ल गत त. \ व ग व ळ अ तर ह लक ष त घ ऊन वर ल म ह त स रण र प त ल ह. म ट र व ग/त श x व ळ y x y x y k ब लग ड म णज व हन च व ग आण प रव स ल ल गण र व ळ य च ग ण क र स थर आल ल द सत. अश व ळ तय र श वयसत प रम ण त आह त, क व तय र श वयसत चलन त बदलत त अस म णत त. वर ल उद हरण त, व हन च व ग आण ठर व क अ तर ज णय स ल गण र व ळ ह वयसत प रम ण त आह त. ग ण ततर च ग णधर म जर आठव य. (1) a आण b य द न स खय च गत ण ततर a : b क व a अश सवर प त ल ह त य त. य थ a ल प र वपद (पह ल b पद) आण b ल उततर पद (द सर पद) महणत त. () द न स खय चय गत ण ततर त उततरपद 100 असत त वह तय गत ण ततर स शतम न अस महणत त. (3) प रम ण त ल सर व स खय न एक च श नय तर स खय न गत णल क व भ गल तर त प रम ण बदलत न ह. उद. 3:4 6:8 9:1 तस च :3:5 8:1:0 क व k ह श नय तर स खय अस ल, तर a : b ak : bk a : b:c ak : bk : ck (4) जय स खय च गत ण ततर क ढ यच आह तय एक च प रक रचय म पन चय असलय तर प रतय क चय म पन च एकक सम न असल प ह ज. (5) गत ण ततर ल एकक नसत. जस, क ल ग र म व 300 ग र म य च गत ण ततर :300 नसत पर तत क ल ग र म 000 ग र म महण न त गत ण ततर 000 : 300 महणज च 0:3 आह. उद (1) स म चय व र जश चय वय च गत ण ततर 3 : 1 आह. र जश चय व अतत लचय वय च गत ण ततर : 3 आह. तर स म, र जश आण अतत ल य चय वय च गत ण ततर क ढ. उकल : स म च वय : र जश च वय 3 : 1 र जश च वय : अतत लच वय : 3 पह लय गत ण ततर च उततरपद ह द सऱय गत ण ततर त ल प र वपद अस यल हव. 59

69 य स ठ महणज सलग गत ण ततर म ळवणय स ठ पह लय गत ण ततर त ल पद न न गत ण महणज 3:1 6: म ळ ल. स म च वय र जश च वय 6, र जश च वय अतत लच वय 60 3 \ स म च वय : र जश च वय : अतत लच वय ह गत ण ततर 6 : : 3 अस आह. उद () एक आयत क त श त च ल ब 1. क म अस न तय च र द 400 म आह, तर ल ब च र द श गत ण ततर क ढ. उकल : य थ ल ब क ल म टरमधय व र द म टरमधय आह. गत ण ततर स ठ द नह एकक सम न हव त महण न क ल म टरच म टरमधय र प तर कर. 1. क म म टर \ 100 म टरच 400 म टरश गत ण ततर घ ऊ. अप क ष त गत ण ततर , महणज च 3:1 आह. 1 उद (3) मह श य चय दरमह खर च च तय चय उतपन न असल ल गत ण ततर 3:5 आह, तर तय च खर च तय चय उतपन न चय श कड क त आह? उकल : खर च च उतपन न असल ल गत ण ततर 3:5 आह. य च शतम न त र प तर कर यच महणज द सर पद 100 कर यच महणज खर च उतपन न % \ मह श य च खर च उतपन न चय 60% आह. उद (4) एक ब ग त आ ब व च क चय झ ड चय स खय च गत ण ततर :3 आह. जर तय ब ग त प रतय क प रक रच 5 झ ड ज सत ल वल असत तर तय चय स खय च गत ण ततर 5 : 7 झ ल असत. तर तय ब ग त आ बय च व च क च झ ड क त आह त? उकल : सत र व त च गत ण ततर : 3 आह. ब ग त ल आ बय च झ ड x व च क च झ ड 3x म न. x + 5 द ल लय अट नत स र, 3x x x + 5 \ x 10 \ ब ग त ल आ बय च झ ड x 10 0 \ ब ग त ल च क च झ ड 3x

70 उद (5) द न स खय च गत ण ततर 5 : 7 आह. जर प रतय क स खय त 40 म ळवल तर य ण ऱय ब रज च गत ण ततर 5 : 31 ह त. तर तय स खय क ढ. उकल : पह ल स खय 5x आण द सर स खय 7x म न. द ल लय अट वर न. 5x x ( 5x+ 40) 57x+ 40 ( ) 155x x x 155x 40 0 x x 1 \ पह ल स खय द सर स खय \ द ल लय स खय 60 व 84 आह त. (1) ख ल द ल लय स खय चय ज ड मध ल पह लय स खय च द सऱय स खय असल ल गत ण ततर स चक षप र प त ल ह. (i) 7, 60 (ii) 38,57 (iii) 5,78 () पत ढ ल र श प क पह लय र श च द सऱय र श श असल ल गत ण ततर स चक षप र प त ल ह. (i) 700 र पय, 308 र पय (ii) 14 र, 1 र. 40 प. (iii) 5 ल टर, 500 म ल ल टर (iv) 3 वर ष 4 मह न, 5 वरव 8 मह न (v) 3.8 क ल ग र म, 1900 ग र म (vi) 7 म न ट 0 स क द, 5 म न ट 6 स क द. (3) पत ढ ल शतम न स चक षप गत ण ततर चय र प त ल ह. (i) 75 : 100 (ii) 44 : 100 (iii) 6.5% (iv) 5 : 100 (v) 0.64% (4) एक लह न घर 3 म णस 8 द वस त ब ध शकत त, तर त च घर 6 द वस त ब धणय स क त म णस ल गत ल? (5) पत ढ ल गत ण ततर च शतम न त र प तर कर. (i) 15 : 5 (ii) 47 : 50 (iii) 7 10 सर वस च (iv) (v) 7 16 (6) आभ आण त च आई य चय वय च गत ण ततर :5 आह. आभ चय जनम चय व ळ त चय आईच वय 7 वरव ह त. तर आभ आण त च आई य च आजच वय क ढ. (7) वतसल व स र य च आजच वय अनत क रम 14 वरव व 10 वरव आह त; क त वर न तय चय वय च गत ण ततर 5:4 ह ईल? (8) र ह न व त च आई य चय आजचय वय च गत ण ततर : 7 आह. वर न तय चय वय च गत ण ततर 1 : 3 ह ईल. तर र ह न च आजच वय क त?

71 ज ण न घ ऊय. ग ण ततर च त लन जर b > 0, d > 0 तर a b, c d (i) जर ad > bc तर a b > c d य गत ण ततर च तत लन प ह. ह तत लन ख ल ल न यम नत स र करत य त. (ii) जर ad < bc तर a b < c d (iii) जर ad bc तर a b c d ख ल द ल लय गत ण ततर चय प रतय क ज ड त ल क रमस ब ध ठरव. उद (1) 4 7, 9 8 उकल : 4 8? < 63 \ < 8 उद () 13 7, ,? ? > 56 उद (3) जर a व b प ण क स खय असत ल आण a < b, b ¹ ± 1 तर a b क रमस ब ध ठरव. उकल : a < b \ a - 1 < b -1 आत a -1 b -1 - a b a -1 b -1 - a + 1 b + 1 ( a 1) ( b+ 1) ( a+ 1) ( b 1) ( b 1) ( b+ 1) ( ab b+ a 1) ( ab + b a 1) b 1 ab b+ a 1 ab b+ a+ 1 b 1 a b b 1 ( a b)... (1) b \ 13 7 > , a + 1 b + 1 य गत ण ततर त ल य वज ब क च व च र कर. आत a < b \ a - b < 0 तस च b -1 > 0 क रण b ¹ ± 1 ( ) a b < 0 b 1 a 1 a 1 b 1 + b + 1 < 0 a 1 a 1 b 1 < + b ()...(1) व () वर न 6

72 उद (4) जर a : b : 1 आण b : c 4 : 1 तर 63 4 a 3bc उकल : 1 b a \ a b b c 1 4 \ b 4c (1) a b 4c 8c \ a 8 c आत a 8 c, b 4c य क मत घ ल न \ a b 4 a 3bc 3 4 a 3bc ( ) 4 8c 3 4 c c 3 (8) c 3 16 c c 4 ak य गत णधर म च उपय ग कर न र क मय ज ग य गय स खय ल ह. bk (i) () पत ढ ल गत ण ततर क ढ. 3 3 (ii) 9 14 (i) वतत वळ चय चत जय च तय चय पर घ श असल ल गत ण ततर. 3 य र श च क मत क ढ (ii) r चत जय असल लय वतत वळ चय पर घ च, तय चय क ष त फळ श असल ल गत ण ततर. (iii) ब ज 7 स म असल लय च रस चय कर ण च तय चय ब ज श असल ल गत ण ततर. (iv) ल ब 5 स म व र द 3.5 स म असल लय आयत चय पर म त च, क ष त फळ श असल ल गत ण ततर. (3) पत ढ द ल लय गत ण ततर चय ज ड मध ल लह न-म ठ पण ठरव. (i) (iv) 5 3 3, (ii) , (v) , सर वस च 4. 63, (iii) , (4) (i) ABCD सम तरभत ज च क न आह. तय चय Ð A व Ð B चय म प च गत ण ततर 5 : 4 आह. तर Ð B च म प क ढ. (ii) अलबट व आण सल म य चय आजचय वय च गत ण ततर 5 : 9 आह. प च वर न तर तय चय वय च गत ण ततर 3 : 5 ह ईल, तर तय च आजच वय क ढ.

73 (iii) एक आयत चय ल ब व र द च गत ण ततर 3 : 1 आह. आयत च पर म त 36 स म आह, तर आयत च ल ब व र द क ढ. (iv) द न स खय च गत ण ततर 31 : 3 अस न तय च ब र ज 16 आह, तर तय स खय क ढ. (v) द न स खय च गत ण क र 360 आह व तय च गत ण ततर 10 : 9 आह, तर तय स खय क ढ. (5 * ) जर a : b 3 : 1 आण b : c 5 : 1 तर (i) (6 * ) a b तर a b a 15bc (ii) a 7 bc ह गत ण ततर क ढ. (7) (x + 3) : (x + 11) (x - ) : (x + 1) तर x च क मत क ढ. सम न ग ण ततर वर ल शर य ज ण न घ ऊय. य र श चय क मत क ढ. सम नत चय गत णधम च उपय ग कर न द न सम न गत ण ततर वर क ह क र य करत य त त. तय च अभय स कर. जर a, b, c, d य धन स खय असत ल तर तय स ठ ख ल ल गत णधर म समज न घ ऊ. (I) वयसत शर य (Invertendo) जर a b c d तर b a d c a c b d a d b c \ \ b c a d \ (द नह ब ज स a c न भ ग न.) b c a d a c a c b d a c d c \ जर a b c d तर b य ग णधर म ल वयसत शर य म णत त. a b d a b c d \ a d b c a d b c c d c d (II) एक तर शर य (Alternando) जर a b c d तर a c जर a b c तर a d c a c b d (द नह ब ज स c d न भ ग न) b य ग णधर म ल एक तर शर य म णत त. d

74 c तर a + b c+ d d b d a c b d a c + + b d a+ b c+ d b d जर a c तर a + b c+ d b d b d c तर a b c d d b d (III) य ग शर य (Componendo) जर a b (IV) व य ग शर य (Dividendo) जर a b \ 1 1 (द नह ब ज त 1 म ळव न) य ग णधर म ल य ग शर य म णत त. a c b d a c 1 1 b d a b c d b d \ (द नह ब ज त न 1 वज कर न) \ जर a c तर a b c d b d b d (V) य ग व य ग शर य (Componendo-dividendo) जर a b जर जर a c b d तर a + b c d a b + c d \ य ग क र य आण व य ग क र य य च स म नय र प जर a c तर a + b c+ d b d b d a+ b c d + b d स म नयपण तस च जर आण जर a c b d a+ b c+ d य ग णधर म ल व य ग शर य म णत त. य ग णधर म ल य ग-व य ग शर य म णत त. (एकद य ग क र य ) (द नद य ग क र य कर न) a+ mb b c md d a c b d तर a mb b a c तर a + mb b d a mb 65 c d तर a + b c d a b + c d, a ¹ b, c ¹ d + (m व ळ य ग क र य कर न)...(1) c md d (m व ळ व य ग क र य कर न)...() c md + c md b d a+ b c+ d b d a b c d b d a+ b c d a b + c d \ (य ग क र य कर न)...(1) \ (व य ग क र य कर न)...() (1) व () वर न....((1) व () वर न, भ ग क र कर न)

75 जर a b जर a b c तर b d a c a तर d c d b d c जर b a (वयसत क र य ) (एक तर क र य ) तर a b d c ह लक त ठ व य. जर a c तर a + b c+ d b d b d a जर b d c a तर - b c d b - d + c d a b + (य ग-व य ग क र य ) c d (य ग क र य ) (व य ग क र य ) स डवल ल उद हरण उद (1) जर a b 5 3 तर a + 7 b 7b ह गत ण ततर क ढ. र त I उकल : जर a b 5 तर a b k, एक तर क र य कर न \ a 5k, b 3k \ a+ 7b 5k+ 7 3k 7b 7 3k 5k+ 1k 1k 6k 6 1k 1 \ \ \ a 7b a+ 7b 7b a+ 7b 7b a b 5 3 र त II (य गक र य कर न) उद. () जर b a 7 4 र त I उकल : b a 7 4 5a b तर - b क ढ. र त II b a 7 4 a b \ 7 4 एक तर क र य कर न a \ 7 b 4 m म न 5a - b \ b \ a 7m, b 4m 5(7 m) - 4m 4m b a 4 # a b 35 4 b 4 5a - b 31 b 4 (व य ग क र य कर न) 35m- 4m 4 m

76 उद. (3) जर b a 3 7 तर a+ b - च क मत क ढ. उकल : र त I : समज a 7m, b 3m \ a+ a b 7m+ 3m - b 7m 3m a 7m + 6m 7m - 6m b 13m m 13 1 र त II : \ b a 3 7 \ a b द नह ब ज न \ a + b a b 7 6 \ a+ a b - b 13 1 न गत ण न (य ग-व य ग क र य कर न) उद (4) जर a b तर 5 a a उकल : a b 3 र त I b b च क मत क ढ. \ a b 3... एक तर क र य न आत 5 a+ 3 b चय प रतय क पद स b न भ ग न. 7a b 5a 3b + b b 7a b b b a 5 3 b + a 7 b \ a b 3 a b 3 र त II t म न. \ a 3t व b t य क मत ठ व न. 5a+ 3b 53 ( t) + 3 ( t) 7a b 73 ( t) ( t) 15t+ 6t 1t 4 t 1t 17t 1 17 (t ¹ 0) 67

77 x उद (5) जर y 5 तर उकल : 4 उद (6) उकल : 4 x y \ जर 5x 4y तर x y x y 5 4x 16 y 5 4x+ y x y x+ y 1 4x y 11 4x y 11 4x+ y 1 3x 3x च क मत क ढ. + y y च क मत क ढ. 3x 3x 3x 3x x y x y 3x 48 y 5 + y y + y y (द नह ब ज न 4 न गत ण न)...(व य ग-य ग क र य कर न) ज ण न घ ऊय. सम न ग ण ततर चय ग णधर च उपय ग (Use of equal ratios)...(द नह ब ज स 3 न गत ण न)...(य ग-व य ग क र य कर न) क ह सम करण स डवणय स ठ इतर पद धत प क ष सम न गत ण ततर वर ल क र य च उपय ग करण स ईच असत. उद (1) सम करण स डव. उकल \ \ \ \ \ \ \ 3x + 5x+ 7 3x + 4x+ 3 10x x + 6 3x + 5x+ 7 3x + 4x+ 3 10x x + 6 ( 6x + 10x+ 14) 6x + 8x+ 6 10x x + 6 ( ) (द नह ब ज स न गत ण न) 68

78 ( 6x + 10x+ 14) ( 10x + 14) ( 6x + 8x+ 6) 8x x x + 6 6x 6x 10x x + 6 ह सम करण x 0 य क मत स ठ सतय आह. जर x ¹ 0 तर x ¹ 0, \ 6x न भ ग न, \ \ \ \ ( ) (व य ग क र य कर न) \ x 0 ह एक उकल आह x+ 14 8x+ 6 8x+ 6 10x x 8x 8 x x 4 \ x 4 क व x 0 य द ल लय सम करण चय उकल आह त. उद () स डव x x x+ 7 x 5 1 ( x+ 7 + x ) + ( x+ 7 x ) ( x+ 7 + x ) ( x+ 7 x ) 5 1 (य ग-व य ग क र य कर न) \ \ \ \ \ \ \ x + 7 x x + 7 x x + 7 x \ x x+ 8 9x x 4x 46 5x 46 5 x (द नह ब ज च वर ग कर न) ह सम करण च उकल आह. 69

79 क त ज ड क गद च प च तत कड घय. प रतय क क गद वर ख ल लप क एक एक व ध न ल ह. (i) a + b c+ d b d (ii) a b (iii) a c d b ac (iv) c bd c - a d d - b (v) a b rc rd a, b, c, d य धनस खय आह त आण a b c ह म ह त द ल आह. वर लप क प रतय क व ध न सतय क असतय d आह ह क र ड चय म ग ल ह. व ध न असतय असलय स तय च क रण ल ह. सर वस च 4.3 (1) जर a b 7 3 तर पत ढ ल गत ण ततर चय क मत क ढ. (i) 5 a+ 3 b 5a 3b (ii) 3 a + b a 3b (iii) a - b 3 b () जर 15 a + 4 b 15a 4b तर पत ढ ल गत ण ततर चय क मत ठरव. (i) a b (ii) 7 a 3 b 7a+ 3b (iii) b a (3) जर 3 a+ 7 b 4 तर 3 a 7 b 3a 7b 3 3a 7b (4) पत ढ ल सम करण स डव. b + a (iv) + य गत ण ततर च क मत क ढ. 7a+ 9b 7a 9b (iv) b b a + a (i) x + 1x 0 x 3x 5 (iii) ( x+ 1 ) + ( x 1 ) (v) ( x+ 1) ( x 1) ( 4x+ 1) + ( x+ 3) 4x + 1x x+ 1 x (ii) (iv * ) (vi) 10x + 15x+ 63 x + 3 5x 5x+ 1 x 5 4x+ 1+ x x+ 1 x ( 3x 4) ( x+ 1) ( 3x 4) + ( x+ 1) 189 क त : ख ल द ल लय मधलय च कट त ल a आण b चय क मत बदल न, महणज a : b च गत ण ततर बदल न व गव गळ उद हरण तय र करत य त ल. तस बदल कर न श क षक न भरप र सर व द व. 5a + b 5a b a 4 b a b a b a + b b --- a b 3 4 a b

80 व च र कर य. एक वय य मश ळ त श त गट त 35 मत ल व 4 मत लग, ब लगट त 30 मत ल व 36 मत लग आण तर ण गट त 0 मत ल व 4 मत लग आह त. तर प रतय क गट त ल मत ल च स खय आण मत लगय च स खय य च गत ण ततर क त आह? स घ क कव यत स ठ त नह गट म द न वर एकत क ल. आत एकत झ ल लय सम ह त ल मत ल च स खय व मत लगय च स खय य च गत ण ततर क त आह? वर ल प रशन चय उततर त न तत मह ल सम न गत ण ततर चय स द ध त च पडत ळ आल क? (i) a b 4 a + 9 b (ii) x y z 5 x 3 y + 4 z x y z 5 x 3 y 4 z x 3y 4z x 3y+ 4z x 3y+ 4z 16 ज ण न घ ऊय. सम न ग ण ततर च स द ध त (Theorem on equal ratios) जर b a d c तर a b d c a c + b+ d c d य गत णधर म ल सम न गत ण ततर च स द ध त महणत त. स द धत b a k म न. \ a bk आण c dk a+ c bk + dk k( b+ d ) \ k b+ d b+ d \ a c a c + b d b+ d b+ d al आपलय ल म ह त आह क, b a bl \ जर b a d c k, तर al cm bl al cm dm + bl + dm k c e d f al + cm + en +... bl + dm + fn +... य च पद धत न व च र कर न जर a b... (स त पद ) आण जर l, m, n य श नय तर स खय असत ल तर प रतय क गत ण ततर (स त पद ) ह सम न गत ण ततर चय स द ध त च स म नय र प म ळत. उद (1) ख ल ल व ध न त ल र क मय ज ग भर. उकल (i) a b a b a b a b (ii) ----(सम न गत ण ततर चय स द ध त वर न) 71

81 उद () जर a b c ( x y+ z) ( y z+ x) ( z x+ y) आण x + y + z ¹ 0 तर उकल : उद (3) जर उकल : प रतय क गत ण ततर a+ b+ c ( x+ y+ z) ह द खव. a b c ( x y+ z) ( y z+ x) ( z x+ y) k म न. \ सम न गत ण ततर चय स द ध त न a+ b+ c k ( x y+ 3z) + ( y z+ 3x) + ( z x+ 3y) a+ b+ c x+ y+ z a+ b+ c ( x+ y+ z) a b c a+ b+ c x y + 3z y z+ 3x z x+ 3y ( x+ y+ z) y z x b+ c a c+ a b a+ b c तर a b c z+ x x+ y y+ z प रथम द ल लय सम न गत ण ततर मधय वयसत क र य कर न b+ c a c+ a b a+ b c y z x आत b + c a c+ a b a+ b c k म न. y z x ह स द ध कर. \ सम न गत ण ततर चय स द ध त न ( c+ a b) + ( a+ b c) k z+ x a...(i) z + x ( a+ b c) + (b+ c a) k x+ y b...( II) x + y ( b+ c a) + ( c+ a b) k y+ z c...(iii) y + z \ \ a b c z+ x x+ y y+ z a b c z+ x x+ y y+ z उद (4) स डव : 14 x 6 x+ 8 7x 3 10x + 4x+ 7 5x + उकल : उद हरण च न र क षण क लय वर अस द सत क उजवय ब ज चय गत ण ततर त ल प र वपद ल व उततरपद ल x न गत णल तर पह लय गत ण ततर त ल प रतय क द न पद म ळत त. महण न द सऱय गत ण ततर त ल द नह पद न x न गत ण.पर तत तय आध x श नय न ह ह न शशचत कर न घ ऊ. 7

82 जर x 0 अस ल तर \ \ x ¹ 0 14x 6x+ 8 10x 4x 7 ह व स गत व ध न म ळत आण 7x 3 5x \ द सऱय गत ण ततर चय द नह पद न x न गत ण न. 3 + \ \ 14x 6x+ 8 x 7x 3 k 10x + 4x+ 7 ( ) x( 5x+ ) 14x 6x+ 8 14x 6x k 10x + 4k+ 7 10x + 4x 14x 6x+ 8 14x + 6x 8 k 10x + 4x+ 7 10x 4x 7 8 \ k 7 \ 7x x 7 49 x 1 40x+ 16 \ \ 49 x 40x x 37 x \ \ 37 9 (1) पत ढ ल व ध न त ल र क मय ज ग भर. (i) सर वस च 4.4 x y 3x+ 5y 7x 9y (ii) a b c a b 3 + c () 5 m -n 3m +4n तर पत ढ ल र श चय क मत क ढ. `` (i) m m + n n (ii) 3 m+ 4 n 3m 4n (3) (i) जर a(y+z)b(z+x) c(x+y) आण a, b, c प क क णतय ह द न स खय सम न न ह त तर (ii) जर y z z x x y ab ( c) bc ( a) ca ( b) ह द खव. x y z 3x y z 3y z x 3z x y आह अस द खव. 73 आण x+y +z ¹ 0 तर प रतय क गत ण ततर च क मत 1

83 (iii) जर ax (iv) जर + by bx + az ay + bz x+ y x+ z y+ z ह स द ध कर. (v) जर 3 5 y+ z z+ x x+ y a b c x y x 5z y z + 5z+ 3y y 5x x z तर आण x+y +z ¹ 0 तर प रतय क गत ण ततर a x y z b+ c a c+ a b a+ b c तर प रतय क गत ण ततर x y ह द खव. एवढ आह ह द खव. + b आह, (4) स डव. (i) 16x 0x+ 9 4x 5 8x + 1x+ 1 x + 3 (ii) 5y + 40y 1 y + 8 5y+ 10y 4 1+ y ज ण न घ ऊय. पर पर त प रम ण (Continued Proportion) पत ढ ल गत ण ततर व च र त घय. 4:1 आण 1:36 ह गत ण ततर सम न आह त. य द न प रम ण त ल पह लय च उततरपद आण द सऱय च प र व पद सम न आह. महण न 4, 1, 36 य स खय पर पर त प रम ण त आह त अस महणत त. ज व a b त व a, b, c य स खय पर पर त प रम ण त अ ह त अस म णत त. b c जर ac b, तर द नह ब ज न bc न भ ग न a b ह सम करण म ळत. b c \ ac b अस ल, तर a, b, c पर पर त प रम ण त असत त. ज वह a, b, c पर पर त प रम ण त असत त त वह b ल a आण c य च भ म त य मधय (Geometric mean) क व मधयर प रम ण पद (Mean proportional) महणत त. य वर न लक ष त घय, क ख ल ल सर व व ध न सम न अर थ च आह त. \ (1) a b () b a c (3) a, b, c पर पर त प रम ण त आह त. b c (4) b ह a व c य च भ म त मधय आह. (5) b ह a व c च मधयम प रम णपद आह. पर पर त प रम ण च स कलपन सत द ध व सत र त करत य त. जर a b महणत त. b c c d d e e f तर a, b, c, d, e आण f य स खय पर पर त प रम ण त आह त, अस उद (1) x ह स खय 5 व 4 य च भ म त मधय आह तर x च क मत क ढ. उकल : x ह 5 व 4 य च भ म त मधय आह. \ x 5 4 \ x 100 \ x 10 74

84 उद () जर 4 a b, 8 ab, p पर पर त प रम ण त असत ल तर p च क मत क ढ. उकल : क ल ल म ह त वर न 4 a b, 8 ab, p पर पर त प रम ण त आह त. 4ab 8ab 8ab p p 8ab 8ab 4ab 16b 3 उद (3) 7, 1 आण 18 य प रत स ख त न क णत स ख वज क ल असत य ण ऱ स ख पर पर त प रम ण त असत ल? उकल : 7, 1 आण 18 य प रत स ख त न x ह स ख वज क ल असत य ण ऱ स ख पर पर त प रम ण त य त ल अस म न. (7-x), (1-x), (18 - x) पर पर त प रम ण त आह त. पडत ळ \ (1-x) (7-x) (18 - x) (7-x) 7-(-18) 5 \ x + x 16-5x + x (1-x) 1 - (-18) 30 \ -4 x +5x (18 - x) 18 - (-18) 36 \ x आण , 30, 36 य स ख पर पर त प रम ण त आह त. \ 7, 1, 18 मध न -18 वज क ल स य ण ऱ स ख पर पर त प रम ण त असत ल. k - पद धत (k -method) ग ण ततर त ल k - पद धत ह सम न ग ण ततर वर ल म णज च प रम ण वर ल क ह प रशन स डवण च एक स प र त आह. य र त मध द ल ल सम न ग ण ततर प क प रत च क मत k म नत त. उद (1) जर a b c 5a 3c 7a c तर द खव क d उकल : a b c d 5b 3d k म न \ a bk, c dk a आण c च क मत द न ब ज त ठ व न. ड व ब ज 5 a 3 c 5b 3d उजव ब ज 7 a c 7b d 7b d 5( bk) 3( dk) k( 5b 3d ) k 5b 3d ( 5b 3d) 7( bk) ( dk) k( 7b d) k 7b d 7b d \ ड व ब ज उजव ब ज. \ 5 a 3 c 5b 3d 7a c 7b d 75

85 उद () जर a, b, c पर पर त प रम ण त असत ल, तर स द ध कर ( a + b) ( b+ c ) उकल : a, b, c ह पर पर त प रम ण त अ ह त. \ b ck, a bk ck k ck a आण b चय क मत घ ल न a b b c k म न. ab bc ड व ब ज ( a+ b ) ( ck + ck ) ab ( ck )( ck) ck( k + 1) ( k + 1) 3 ck k उजव ब ज ( b+ c ) ( ck + c ) bc ( ck) c c ( k+ 1) ( k + 1) ck k a + b ab \ ड व ब ज उजव ब ज. \ ( ) ( b+ c ) bc उद (3) जर a, b, c पर पर त प रम ण त असत ल, तर स द ध कर a c a b + ab + b + bc + c उकल : a, b, c पर पर त प रम ण त आह त. \ a b b c समज, a b b c ड व ब ज a c उजव ब ज a b k \b ck आण a ck ck k c + ab + b + bc + c ( kc) + kcck ( ) + ( ck) ( ck) + ( ck)() c + c 4 kc + kc + ck ck + ck+ c ck( k + k+ 1) c ( k + k + 1) k 3 \ ड व ब ज उजव ब ज उद (4) प च स खय पर पर त प रम ण त अस न पह ल पद 5 व श वटच पद 80 आह. तर तय स खय क ढ. उकल : समज, पर पर त प रम ण असल लय प च स खय a, ak, ak, ak 3, ak 4 आह त. य थ a 5 आण ak 4 80 \ 5 k 4 80 \ k 4 16 \ k \ 4 16 ak 5 10 ak ak ak \ तय स खय 5, 10, 0, 40, 80 आह त. \ a c a b + ab + b + bc + c 76

86 सर वस च 4.5 (1) 1, 16 आण 1 य प रतय क स खय त क णत स खय म ळवल असत य ण ऱय स खय पर पर त प रम ण त असत ल? () (3-x) व (19-x) य च (8-x) ह x च मधयम प रम णपद आह, तर x च क मत क ढ. (3) त न स खय पर पर त प रम ण त आह त. तय च मधयम प रम णपद 1 अस न उरल लय द न स खय च ब र ज 6 आह, तर तय स खय क ढ. (4) जर (a + b + c) (a - b + c) a + b + c तर a, b, c य स खय पर पर त प रम ण त आह त ह द खव. (5) जर a b b आण a, b, c > 0 तर स द ध कर क, c (i) (a + b + c) (b - c) ab - c (ii) (a + b ) (b + c ) (ab + bc) (6) (iii) a x+ y, x y + b a c + ab b x y x y य त ल मधयम प रम णपद क ढ. क त : भ ग ल चय पत सतक त ल भ रत च र जक य नक श प ह. तय त द ल ल अ तर च प रम ण लक ष त घय. तय वर न व गव गळ शहर त ल सरळ र ष त ल अ तर क ढ. जस, (i) नव द ल त ब गळ र (ii) मत बई त क लकत (iii) जयप र त भत वन शवर स क र ण प रशनस ग रह 4 (1) ख ल ल प रशन स ठ बह पर य य उततर त ल अच क पर य य न वड. (i) जर 6 : 5 y : 0 तर y च क मत ख ल लप क क णत? (A) 15 (B) 4 (C) 18 (D).5 (ii) 1 म ल म टरच 1 स ट म टरश असल ल गत ण ततर ख ल लप क क णत? (A) 1 : 100 (B) 10 : 1 (C) 1 : 10 (D) 100 : 1 (iii * ) जत न, न त न व म हस न य च वय अनत क रम 16, 4 व 36 वरव आह त, तर न त नचय वय च म हस नचय वय श असल ल गत ण ततर क णत? (A) 3 : (B) : 3 (C) 4 : 3 (D) 3 : 4 77

87 (iv) त भम व अन ल य न 3 : 5 य प रम ण त 4 क ळ व टल, तर त भमल म ळ ल ल क ळ क त? (A) 8 (B) 15 (C) 1 (D) 9 (v) 4 व 5 य च मधयम प रम णपद ख ल लप क क णत? (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 1 () ख ल द ल लय स खय चय ज ड मध ल पह लय स खय च द सऱय स खय असल ल गत ण ततर स चक षप र प त ल ह. (i) 1, 48 (ii) 36, 90 (iii) 65, 117 (iv) 138, 161 (v) 114, 133 (3) पत ढ ल गत ण ततर स चक षप र प त ल ह. (i) वतत वळ च चत जय व वय स य च गत ण ततर. (ii) आयत च ल ब 4 स म व र द 3 स म असलय स आयत चय कर ण च ल ब श असल ल गत ण ततर. (iii) च रस च ब ज 4 स म असलय स च रस चय पर म त च तय चय क ष त फळ श असल ल गत ण ततर. (4) पत ढ ल स खय पर पर त प रम ण त आह त क त ठरव. (i), 4, 8 (ii) 1,, 3 (iii) 9, 1, 16 (iv) 3, 5, 8 (5) a, b, c य त न स खय पर पर त प रम ण त आह त. जर a 3 आण c 7 अस ल तर b क त? (6) पत ढ ल गत ण ततर च शतम न र प तर कर. (i) 37 : 500 (ii) 5 (iii) 8 30 (iv) 5 (v) (7) पह लय र श च द सऱय र श श असल ल गत ण ततर स चक षप र प त ल ह. (i) 104 MB, 1. GB [(104 MB 1 GB)] (ii) 17 र पय, 5 र पय 60 प स (iii) 5 डझन, 10 नग (iv) 4 च म, 800 च स म (8) जर a b तर पत ढ ल र श चय क मत क ढ. 3 (i) 4 a+ 3 b (ii) 5 a + (iii) a 3b + b 3 b 3 3 b 5a b b a 7b+ 4a (iv) 7 4 (9) a, b, c, d प रम ण त असत ल, तर स द ध कर. (i) (ii * ) 11a + 9ac 11b + 9bd a b + 5c + 5d a b b a + 3ac + 3bd (v) 1.5 क ग र, 500 ग र म (iii) a + ab+ b a ab+ b c + cd + d c cd + d 78

88 (10) a, b, c पर पर त प रम ण त असत ल, तर स द ध कर. (i) (11) स डव (1) जर 3 (13 * ) जर a a b a+ b a 4 c (ii) b a b b+ c a c 1x + 18x+ 4 x x + 1x+ 58 3x + x y z y x 3z 3z+ y z x + y 3x by + cz cz + ax ax + by b + c c + a a + b तर प रतय क गत ण ततर y x आह, ह स द ध कर. तर a x b ह स द ध कर. y c z 79

89 5 द न चल त ल र ष य सम करण द न चल त ल र ष य सम करण एकस म य क सम करण चल, श क य. एकस मय क सम करण स डव ण एकस म य क सम करण वर ल श ब दक उद हरण जर आठव य. उद. ख ल ल सम करण स डव. (1) m+35 () 3y+8 (3) x 3 ( 4) p p m y x p (5) क णतय स खय त 5 म ळवलय स (6) 8 मध न क त वज क लय स उरत ल? 14 ह स खय म ळ ल? y x y x वर ल प रतय क सम करण त चल च घ त क 1 आह. य सम करण न एक चल त ल र ष य सम करण महणत त. ज ण न घ ऊय. द न चल त ल र ष य सम करण (Linear equations in two variables) जय द न स खय च ब र ज 14 आह, अश स खय श ध. स खय स ठ x व y ह चल व पर न ह उद हरण सम करण र प त x + y 14 अस ह ईल. ह द न चल त ल सम करण आह. य थ x आण y य द नह चल चय अन क क मत श धत य त त. जस, (-1) (-1) (-86) 14 (-100) + (114) महणज वर ल सम करण चय (x 9, y 5) (x 7, y 7) (x 8, y 6) इतय द अन क उकल म ळत त. 80

90 x 9, y 5 ह उकल (9, 5) अश क रम न क स त ल ह णय च स क त आह. य ज ड त ल पह ल स खय x च क मत व द सर स खय y च क मत असत. x + y 14 ह सम करण सतय ठरवण ऱय (9,5), (7,7), (8,6), (4,10), (10,4), (-1,15), (.6, 11.4), अश अन त क रम त ज ड महणज अन त उकल आह त. आत द सर उद हरण प ह. अश द न स खय श ध क जय च वज ब क आह. म ठ स खय x व लह न स खय y म नलय स x-y ह सम करण म ळ ल. x आण y क मत स ठ पत ढ लप रम ण अन क सम करण म ळत ल (-3) - (-5) य थ x 10 आण y 8 य क मत घ तलय तर (10,8) ह क रम त ज ड य सम करण च सम ध न करत महणज ह ज ड य सम करण च उकल आह. (10, 8) ह ज ड (8, 10) अश ल ह न च लण र न ह. क रण (8, 10) य च अर थ x 8, y 10 अस आह. य क मत न x-y य सम करण च सम ध न ह त न ह. य वर न ज ड त ल स खय च क रम महत व च असत, ह न ट लक ष त घय. आत x-y य सम करण चय उकल क रम त ज ड चय र प त ल ह. (7, 5), (-, -4), (0, -), (5., 3.), (8, 6) इतय द अन त उकल आह त. 4m - 3n य सम करण चय उकल क ढ. तत मह ह अश त न व गव गळ सम करण तय र कर व तय चय उकल श ध. आत पह ल द न सम करण प ह. x + y I x - y... II सम करण I चय उकल (9, 5), (7, 7), (8, 6)... सम करण II चय उकल (7, 5), (-, -4), (0, -), (5., 3.), (8, 6)... (8, 6) ह ज ड उकल चय द नह सम ह त स म ईक आह. ह ज ड द नह सम करण च सम ध न करत. महण न त द नह सम करण च स म ईक उकल आह. ह लक त ठ व य. ज वह द न चल त ल द न र ष य सम करण च एक च व ळ व च र कर न तय च स म ईक उकल म ळत त वह तय सम करण न एकस मय क सम करण (Simultaneous equations) महणत त. 81

91 क त : ख ल द ल लय चशमय चय क च वर अश स खय ल ह क, 9 13 (i) जय च ब र ज 4 आण वज ब क 16 आह. (ii) जय च ब र ज 37 अ ण वज ब क 11 आह. (iii) जय च ब र ज 54 आण वज ब क 0 आह. (iv) जय च ब र ज.. आह आण वज ब क.. आह. व च र कर य. x+y 5 आण x + y 10 ह द न चल त ल द न सम करण आह त. x+y 5 य सम करण चय व गव गळ प च उकल श ध. तय च उकल न x + y 10 य सम करण च ह सम ध न ह त क ह तप स. य द नह सम करण च न र क षण कर. द न चल त ल द न सम करण चय सर व उकल सम न असण य स ठ आवशयक असण र अट म ळत क त प ह. ह पद धत समजणय स ठ पत ढ ल उद हरण अभय स. 8 ज ण न घ ऊय. चल च ल प कर न एकस म य क सम करण स डवणय च पद धत (Elimination method) x + y 14 आण x - y ह एकस म य क सम करण चल न क मत द ऊन आपण स डवल. पर तत प रतय क व ळ ह र त स ईच ह ईल अस न ह. उद हरण र थ, x + 3y -4 आण x - 5y 11 ह सम करण x व y य न व गव गळ क मत द ऊन स डवणय च प रयतन कर न प ह. य र त न उकल म ळवण स प न ह ह तत मचय लक ष त य ईल. महण न एकस म य क सम करण स डवणय स ठ व गळ पद धत व परल ज त. य पद धत त द नप क एक चल च ल प कर न एक चल त ल र ष य सम करण म ळवत त. तय वर न तय चल च क मत क ढत त. ह क मत द ल लय प क क णतय ह सम करण त म डल क द सऱय चल च क मत म ळत.

92 उद (1) स डव x + y 14 आण x - y. उकल द नह सम करण च ब र ज कर न एक चल त ल सम करण म ळव. x + y 14...I + x - y...ii x x 8 ह क मत सम करण (I) मधय ठ व. x 16 x + y 14 \ 8 + y 14 x 8 \ y 6 य थ (8, 6) ह पह लय सम करण च उकल आह. ह च उकल द सऱय सम करण च ह आह य च पडत ळ घ ऊ. उद () उकल x-y 8-6 ह सतय आह. (8,6) ह द ल लय द नह सम करण च स म ईक उकल आह. महणज च x + y 14 आण x - y य एकस मय क सम करण च (8, 6) ह उकल आह. आई व मत लग य चय वय च ब र ज 45 आह. आईचय वय चय द पट त न मत ल च वय वज क ल तर वज ब क 54 य त, तर तय द घ च वय क ढ. चदल ल म ह त चल च उपय ग कर न ल ह ल क, उद हरण स डवण स प ज त. आईच आजच वय x वरव व मत ल च आजच वय y वरव म न. पह लय अट नत स र x+y 45...I द सऱय अट नत स र x-y 54...II सम करण (I) व (II) य च ब र ज कर न 3x x 99 x 33 x 33 ह क मत पह लय सम करण त घ ल 33+y 45 y y 1 x33 व y 1 ह उकल द सऱय सम करण च सम ध न करत. य च पडत ळ घय. आईच आजच वय 33 वरव व मत ल च वय 1 वरव आह. 83

93 द न चल त ल र ष य सम करण च स म नयर प ax + by + c 0 य सम करण त a,b,c य व सतव स खय असत ल आण a व b एक च व ळ 0 नसत ल तर ह सम करण द न चल त ल र ष य सम करण च स म नय र प असत. य सम करण त द न चल च घ त क 1 आह. ह सम करण र ष य आह. उद (1) ख ल ल एकस मय क सम करण स डव 3x + y 5... (I) x + 3y 1...(II) उद () ख ल ल एकस मय क सम करण स डव. 3x 4y (I) y +x (II) य थ एक चल च ल प करणय स ठ द नह द नह सम करण शसथर क उजव कड घ ऊन ल ह. सम करण त ल एक ह चल च सहगत णक सम न क व व र द ध स खय न ह. त सम न कर न घ ऊ. 3x 4 y 15...(I) सम करण I चय द नह ब ज न 3 न गत ण. \ 3x y 5 3 x+ y -... (II) y चल च ल प करणय स ठ सम करण II ल 4 न गत ण \ 9x + 3y 15...(III) व सम करण I मधय त म ळव. x + 3y 1...(II) आत सम करण II ह सम करण III मध न वज कर 9x + 3y 15 + x + 3y x 14 x x ह क मत क णतय ह सम करण त ठ व. x + 3 y 1 \ + 3y 1 \ 4 + 3y 1 \ 3y -3 \ y -1 य थ (, -1) ह उकल द सऱय सम करण स ठ ह सतय आह, ह पडत ळ. 84 3x 4 y x + 4y -8 7x 7 x 1 x 1 ह क मत सम करण II मधय ठ व. x+y - \1 + y - \ y - -1 \ y -3 (1, -3) ह उकल आह. ह उकल सम करण I स ठ सत द ध सतय आह, ह पडत ळ. व च र कर य. 3x - 4y आण y + x + 0 ह च सम करण x य चल च ल प कर न स डवत य त ल क? तय च उकल त च य ईल क?

94 ज ण न घ ऊय. एक चल च क मत द सऱय चल चय र प त ठ व न चल च ल प करण (Substitution method) चल च ल प करणय च आणख एक पद धत आह. सम करण त ल एक चल च क मत द सऱय चल चय र प त क ढ न त द सऱय सम करण त ठ व न पह लय चल च ल प करत य त. ह पद धत पत ढ ल उद हरण त न समज व न घ ऊ. उद (1) स डव 8x + 3y 11 ; 3x y उकल 8x + 3y (I) 3x y...(ii) सम करण (II) मधय y च क मत x चल त म डण स प ह ईल. 3x y 3x y आत y 3x - ह क मत सम करण (I) मधय ठ व. 8x + 3y 11 \ 8x + 3(3x-) 11 \ 8x + 9x \ 17x 6 11 \ 17x \ x 1 x च ह क मत y 3x य त ठ व. \ y 3 1 \ y 1 \ (1, 1) ह य सम करण च उकल आह. 85 उद () स डव. 3x 4 y 16 ; x 3y 10 उकल 3x-4y16...(I) x 3y 10...(II) सम. I वर न x य चल च क मत y चय र प त म ड. 3x 4 y 16 3x y x y 3 x च ह क मत सम करण (II) मधय ठ व. x 3y y 3y y 3y y 9y y 9y 30 3 y 30 \ y आत y ह क मत सम करण (I) मधय ठ व न 3x -4y 16 \ 3x \ 3x \ 3x \ 3x 4 \ x 8 \ x 8 व y \ (8, ) ह य सम करण च उकल आह.

95 सर वस च 5.1 (1) x आण y य चल च उपय ग कर न द न चल त ल 5 र ष य सम करण ल ह. () x + y 7 य सम करण चय 5 उकल ल ह. (3) ख ल ल एकस मय क सम करण स डव. (i) x + y 4 ; x 5y 1 (ii) x + y 5; 3x-y 5 (iii) 3x-5y16; x-3y8 (iv) y-x0; 10x + 15y 105 (v) x + 3y+4 0; x- 5y 11 (vi) x - 7y 7; 3x + y ज ण न घ ऊय. एकस मय क सम करण वर ल श ब दक उद हरण शबदक उद हरण स डवत न द ल लय म ह त वर न सम करण तय र करण ह एक अतय त महत व च टपप आह. सम करण च उकल क ढणय च प रण ल पत ढ ल प यऱय मध न द खव ल आह. प यऱय उद हरण श शबदक उद हरण क ळज प र वक द न स खय च ब र ज 36 आह एक स खय चय आठ व च न समज न घय. पट त न 9 वज क ल असत द सर स खय म ळत. उद हरण त ल म ह त वर न र श स ठ चल व पर. चल व पर न व ध न गण त भ ष त ल ह. य गय पद धत च उपय ग कर न सम करण स डव. उकल म ळव. आल ल उततर सम करण त ठ व न पडत ळ घय. पह ल स खय x म न. द सर स खय y म न. स खय च ब र ज 36 \x + y 36 लह न स खय च 8 पट 8x लह न स खय च 8 पट 9 8x 9 \ म ठ स खय y 8x - 9 x + y 36 \ 5 + y 36 \8x y 9 \ y 36-5 \ 9x 45 \ y 31 \ x 5 x 5, y (I) (II) उततर ल ह. 86 \ तय स खय 5 व 31 आह त.

96 श ब दक उद हरण आत आपण व व ध प रक रचय श शबदक उद हरण च व च र कर. (1) वय श न गड त उद हरण () स खय न गड त उद हरण (3) अप ण क वर आध र त उद हरण (4) आर थ क वयवह र वर आध र त उद हरण (5) भ म त क आक तय चय गत णधम वर आध र त उद हरण (6) व ग, अ तर, व ळ य वर आध र त उद हरण उद (1) द न स खय च ब र ज 103 आह. जर म ठ स खय ल लह न स खय न भ गल तर भ ग क र य त व ब क 19 उरत, तर तय स खय श ध. उकल : प यर 1 : श शबदक उद हरण समज व न घ ण. प यर : श धणय चय स खय स ठ अक षर म नण. तस च भ जय भ जक भ ग क र + ब क ह न यम लक ष त घ ण. म ठ स खय x म न व लह न स खय y म न. प यर 3 : द ल ल म ह त : स खय च ब र ज 103 महण न x + y 103 ह एक सम करण म ळ ल. म ठ स खय ल लह न स खय न भ गलय स भ ग क र य त, ब क 19 उरत महण न x y (भ जय भ जक भ ग क र + ब क ) महणज च x y 19 ह द सर सम करण म ळत. प यर 4 : आत तय र सम करण च उकल क ढ. x + y (I) x y 19...(II) सम करण (I) मध न सम करण (II) वज कर. x + y 103 x y y 84 \ y 8 प यर 5 : x + y 103 य सम करण त y च क मत ठ व. \ x \ x \ x 75 प यर 6 : द ल लय स खय 75 व 8 आह त. 87

97 उद () सल लच वय स ग र मचय वय चय न ममय प क ष 3 वर न ज सत आह. प च वर प वग तय चय वय च ब र ज 55 वरव ह त, तर तय च आजच वय क ढ. उकल : सल लच आजच वय x म न व स ग र मच आजच वय y म न. 88 y + सल लच वय स ग र मचय वय चय न ममय प क ष 3 न ज सत आह, महण न x प च वर प वग च सल लच वय x 5. प च वर प वग च स ग र मच वय y - 5 प च वर प वग च तय चय वय च ब र ज सम करण स डव न उकल क ढण. x y + 46 (x - 5) + (y-5) 55 x + y 65 x y 46...(I)...(II) सम करण (I) व सम करण (II) य च ब र ज कर. x 37 ह क मत सम करण (II) मधय ठ व. x y 46 x+y 65 + x + y 65 \ 37 + y 65 \ 3x 111 \ y \ x 37 \ y 8 सल लच आजच वय 37 वरव आह व स ग र मच आजच वय 8 वरव आह. उद (3) एक द न अ क स खय त चय अ क चय ब रज चय च पट आह. त चय अ क च अदल बदल क लय स म ळण र स खय ह म ळचय स खय चय द पट प क ष 9 न कम आह, तर त स खय श ध. उकल : म ळचय स खय त ल एककसथ नच अ क x आण दशकसथ नच अ क y म न. दशकसथ नच अ क एककसथ नच अ क स खय अ क च ब र ज म ळचय स खय स ठ y x 10y + x y + x अ क च अदल बदल क लय वर म ळण ऱय स खय स ठ x y 10x + y x + y पह लय अट नत स र 10y + x 4 (y+x) \10y + x 4y + 4x \ x 4x + 10y 4y 0 \ -3x + 6y 0 \ -3x -6y \x y...(i)

98 द सऱय अट नत स र 10x + y (10y+x)-9 10x+y 0y + x-9 10x-x+y-0y -9 8x 19y -9...(II) x y...(i) x y ह क मत सम करण (II) मधय ठ व न. 16y 19y -9...(I) \ 3y -9 \ y 3 y 3 ह क मत सम करण (I) मधय ठ व. x y 0 x - x 3 0 \ x 6 0 \ x 6 म ळच द न अ क स खय : 10y + x उद (4) एक ग व च ल कस खय 50,000 ह त. एक वर ष त पत र ष च स खय 5% न व ढल व शसत य च स खय 3% न व ढल. तय मत ळ य वरग ल कस खय 5,00 झ ल. तर ग लय वरग तय ग व त पत र ष क त ह त व शसत य क त ह तय? उकल : आध चय वरग ग व त ल पत र ष च स खय x व शसत य च स खय y ह त अस म न. पह लय अट नत स र (I) पत र ष च स खय 5% न व ढल. पत र ष च स खय शसत य च स खय 3% न व ढल. शसत य च स खय x झ ल. y झ ल. द सऱय अट नत स र x + y 500 x + y (II) सम करण (I) ल 103 न गत ण. x + y (III) सम करण (II) मध न सम करण (III) वज कर. x x 5000 \ पत र ष च स खय x \ शसत य च स खय y 89

99 क त I : पत ढ द ल लय आक त त ब ण जवळ क ह स चन ल ह लय अ ह त. तय वर न म ळण र सम करण ब ण पत ढ ल च कट त ल ह. च कट त ल क णत ह द न सम करण घ ऊन तय सम करण च उकल क ढ. उकल च पडत ळ घय. कर. य प क क णतय ह द न सम करण च एक ज ड, अश क त ज ड म ळत ल? तय चय उकल वर चर च म झय ल ब चय द पट त न र द वज क लय स 7 म ळत त. म झय ल ब व र द त ल फरक 6 आह. म आयत आह. म झ ल ब x आह व र द y आह. म झ ल ब व र द य च ब र ज 36 आह. म झ र द ल ब चय पट आह. 5 7 सर व स च 5. (1) एक प क ट त क ह 5 र पय चय व क ह 10 र पय चय न ट आह त. न ट च एक ण क मत 350 र. आह. 5 र पय चय न ट च स खय 10 र पय चय न ट चय स खय चय द पट प क ष 10 न कम आह, तर प क ट त 5 र पय चय व 10 र पय चय क त न ट आह त? () एक अप ण क च छ द अ श चय द पट प क ष 1 न ज सत आह. अ श व छ द य त प रतय क 1 म ळवलय स अ श च छ द श असल ल गत ण ततर 1 : ह त, तर त अप ण क क ढ. (3) प र य क व द प क य चय वय च ब र ज 34 वरव आह. प र य क द प क प क ष 6 वर न म ठ आह, तर तय च वय क ढ. (4) एक प र ण स ग रह लय त स ह आण म र य च एक ण स खय 50 आह. तय चय प य च एक ण स खय 140 आह, तर प र ण स ग रह लय त ल स ह च व म र च स खय क ढ. (5) स जयल न कर मधय क ह म स क पग र म ळत. दरवरग तय चय पग र मधय न शशचत रकम च व ढ ह त. जर च र वर न तय च म स क पग र 4,500 र पय झ ल व 10 वर न म स क पग र 5,400 र पय झ ल, तर तय च सत र व त च पग र व व र ष क व ढ च रक कम क ढ. (6) 3 ख र च य व ट बल च क मत 4500 र पय आह. 5 ख र च य व 3 ट बल च क मत 7000 र पय आह, तर ख र च य व ट बल च क मत क ढ. 90

100 (7) एक द न अ क स खय त ल अ क च ब र ज 9 आह. जर अ क च अदल बदल क ल तर म ळण र स खय ह आध चय स खय प क ष 7 न म ठ आह, तर त द न अ क स खय क ढ. (8 * ) D ABC मधय क न A च म प ह Ð B व Ð C य क न चय म प चय ब रज एवढ आह. तस च Ð B व Ð C य चय म प च गत ण ततर 4:5 आह. तर तय चत क ण चय क न च म प क ढ. (9 * ) एक 560 स म ल ब चय द र च द न तत कड अस कर यच आह त, क लह न तत कड चय ल ब च द पपट ह म ठ तत कड चय ल ब चय 1 3 पट आह, तर म ठ तत कड च ल ब क ढ. (10) एक सपध व पर क ष त 60 प रशन ह त. प रतय क प रशन चय बर बर उततर कर त गत ण आण चत क चय उततर कर त ॠण एक गत ण द णय त य ण र ह त. यशव तन सर व 60 प रशन स डवल त वह तय ल 90 गत ण म ळ ल, तर तय च क त प रशन च उततर चत कल ह त? स क र ण प रशनस ग रह 5 (1) ख ल लप क य गय पर य य न वड. (i) 3x + 5y 9 आण 5x + 3y 7 तर x + y च क मत ख ल लप क क णत आह? (A) (B) 16 (C) 9 (D) 7 (ii) आयत चय ल ब त न व र द त न 5 वज क ल तर तय च पर म त 6 य त. य म ह त च गण त भ ष त ल र प तर ख ल लप क क णत? (A) x - y 8 (B) x + y 8 (C) x + y 3 (D) x + y 1 (iii) अजय ह व जयप क ष 5 वर न लह न आह. तय द घ चय वय च ब र ज 5 आह, तर अजयच वय क त? (A) 0 (B) 15 (C) 10 (D) 5 () ख ल ल एकस मय क सम करण स डव. (i) x + y 5 ; 3x - y 5 (ii) x - y -1 ; x - y 7 (iii) x + y 11 ; x - 3y 7 (iv) x + y - ; 3x - y 7 (v) x - y 5 ; 3x + y 11 (vi) x - y - ; x + y 10 (3) चल च सहगत णक सम न कर न ख ल ल सम करण स डव. (i) 3x-4y7; 5x+y3 (ii) 5x + 7y17 ; 3x-y4 (iii) x-y -10; 3x-5y -1 (iv) 4x + y34 ; x+4y 16 (4) ख ल ल एकस मय क सम करण स डव. (i) (iii) x y x y x + y ; 5 4 x y y ; (ii) x y ; x 91

101 (5 * ) एक द न अ क स खय, तय स खय त ल अ क चय ब रज चय च पट प क ष 3 न म ठ आह. जर तय स खय मधय 18 म ळवल तर य ण र ब र ज ह म ळ स खय त ल अ क च अदल बदल कर न य ण र स खय म ळत, तर त स खय क ढ. (6) 6 पत सतक व 7 प न य च एक ण क मत 79 र पय आह आण 7 पत सतक व 5 प न य च एक ण क मत 77 र पय आह, तर एक पत सतक व द न प न य च क मत क ढ. (7 * ) द न वयक त चय उतपन न च गत ण ततर 9:7 आह व तय चय खच च गत ण ततर 4:3 आह. प रतय क च बचत 00 र पय अस ल तर प रतय क च उतपन न क ढ. (8 * ) एक आयत च ल ब 5 एकक न कम क ल व र द 3 एकक न व ढवल तर तय च क ष त फळ 9 च रस एकक न कम ह त. जर ल ब 3 एकक न कम क ल व र द एकक न व ढवल तर तय च क ष त फळ 67 च रस एकक न व ढत, तर आयत च ल ब व र द क ढ. (9 * ) एक रसतय वर ल A व B य द न ठ क ण मध ल अ तर 70 क म आह. एक क र A ठ क ण ह न व द सर क र B य ठ क ण ह न न घत. जर तय एक च द श न न घ लय तर एकम क न 7 त स त भ टत त व व र द ध द श न न घ लय स 1 त स त भ टत त, तर तय च व ग क ढ. (10 * ) एक द न अ क स खय व तय स खय त ल अ क च अदल बदल कर न य ण र स खय य च ब र ज 99 आह, तर त स खय क ढ. क त : अप ण क श ध. अ श x छ द y अप ण क चय अ श ल 3 न गत णल व छ द त न 3 वज क ल तर म ळण र अप ण क आह. अप ण क च अ श 8 न व ढवल आण छ द द पपट क ल तर म ळण र अप ण क 1 आह. सम करण I सम करण II 11x - 6y x - y आल लय उततर च पडत ळ घय. \ द ल ल अप ण क 9

102 6 अ थ मशनय जन चल, श क य. अ थ मशनय जन च ओळख बचत व ग तवण क कररचन आयकर-गणन चल, चर च कर य. अनघ : आपण क मपयत टर व कत घय यच क? आई : ह, घ ऊय पण पत ढचय वरग घ ऊय. अनघ : य वरग क नक? आई : तय च क मत क ह कम नसत. अनघ : महणज प स स ठव यल हव त, अस च न? आई : ह. आपलय आज ब ज ल अश प रक रच अन क स व द क न वर पडत त. प रतय क वयक त ल व व ध गरज भ गवणय स ठ प श च गरज असत. तय मत ळ च वर तम न त ल आवशयक गरज प र ण कर न इतर गरज भ गवणय स ठ प रतय कजण प स स ठवणय च प रयतन करत. तय ल च आपण बचत करण अस महणत. ह बचत सत रक ष त र ह न त चय त व ढ ह णय स ठ त आपण ठ व महण न ठ वत क व जम न, घर य स रखय सथ वर ब ब खर द करत. य ल च गत तवण क करण अस महणत त. प रतय क गत तवण कद र आवशयक त वढ रक कम खर च करत आण उरल लय रकम च बचत करत, तस च बचत क ल लय रकम च व च रप र वक गत तवण कह करत. य ल अ थ मशनय जन महणत त. स पतत च व द ध आण सत रक ष तत ह अर थन य जन च मत खय प रय जन असत. प रतय क चय आयत षय त य ण ऱय अप क ष त व अनप क ष त घटन कर त तरत द महण न अर थन य जन च उपय ग ह त. क ह उद हरण पत ढ द ल आह त. अप शक त घटन अनप शक त घटन (1) मत ल च श क षण व तय चय स ठ इतर खर च (1) न सर ग क आपतत () वयवस य स ठ भ डवल () क ट ब त ल एख द सदसय च आज रपण (3) व हन खर द (3) अपघ त मत ळ झ ल ल नत कस न (4) घर च ब धक म क व खर द (4) आकशसमक म त य (5) व द ध पक ळ त ल गरज अर थन य जन क कर व य च उततर वर ल घटन क व इतरह क ह क रण य मध न म ळत. अर थन य जन करत न क ह ब ब लक ष त ठ वण गरज च असत. 93

103 बचत (Savings) (1) बचत सत रक ष त र हण व त चय त व ढ ह ण ह त च असत. आपल बचत क ल ल रक कम ब क त क व प सट त सत रक ष त र हत. ब क त ल बचत ख तय त जम झ ल लय रकम मत ळ र कडरह त (cashless) वयवह र करण स ईच ह त. अश वयवह र मत ळ सवत:जवळ अध क रक कम ठ व व ल गत न ह व त रक कम हरवणय च व च र ल ज णय च भ त र ह त न ह. () आपण क ल ल बचत र ख सवर प त अस ल आण त च गत तवण क न करत त तश च ठ वल तर त च म लय क ळ बर बर कम ह त. महणज च वसत व कत घ णय च तय रकम च शक त महणज प श च क रयशक त (Purchasing power) कम ह त. (उद. आज 10 र पय मधय प शनसल म ळत असत ल, तर क ह वर न तर तय च क मत त एकच प शनसल म ळ ल.) य स ठ बचत च य गय ठ क ण गत तवण क कर न तय त व ढ ह ण आवशयक आह. (3) बचत क ल ल रक कम वयवस य व द ध, नव उद ग च ल करण, अश क म स ठ व परल ग ल तर र ष टट य उतप दन त व ढ ह त. (4) एक ण म ळकत प क बचत च क ह भ ग सम जक र य स ठ खर च क लय स तय च द रग म फ यद सव न च ह त. (5) आवशयक त वढ खर च कर न झ लय वर च न चय ग ष ट वर ल खर च कम कर न श क षण, व द क य उपच र, इतय द स ठ बचत करण ह त च असत. चल, चर च कर य. ज ण न घ ऊय. मय चय अल फ ड र ष य बचत प रम णपत र श अर ब नड व म प गर ख त बचत ख त प सट च आय र व म स र वजन क भव षयशनव म न ध म स क उतपन न ख त जय ष ठ न गर क य जन आवतत जम य जन प सट ऑफ स ख जग क त र म दत ठ व ब क आवतत ठ व र ष य क त ब क त ल ठ व बचत ख त बचत व ग तवण क वर ल च त च न र क षण कर. बचत च व गत तवणत क च क ह म र ग च त त द खवल आह त, तय वर चर च कर. य प क ष व गळ अ णख क णत म र ग आह त क य च म ह त म ळव. त च त त ल र क मय ज ग ल ह. 94

104 ज ण न घ ऊय. ग तवण क (Investments) गत तवणत क च अन क प रक र आह त.गत तवण कद र ब क, प सट अश आर थ क वयवह र करण ऱय स सथ मधय गत तवण क करण पस त करत त क रण त थ प श च सत रक ष तत ज सत असत. श अर स, म य च य अल फ ड इतय द मधय गत तवण क करणय त थ ड ज ख म असत. क रण जय उद ग त ह प स गत तवल ज त त तय उद ग स त ट झ लय स, गत तवल ल रक कम कम ह त. य उलट फ यद झ लय स रक कम सत रक ष त र हत आण ल भ श म ळ शकत. गत तवण कद र न गत तवण क करत न द न मत खय ब ब व च र त घ तलय प ह ज त. एक महणज ज ख म व द सर महणज ल भ. अध क ज ख म पतकर न गत तवण कद र अध क ल भ म ळव शकत, पर तत अध क ज ख म असलय मत ळ त ट ह ह ऊ शकत ह धय न त ठ वल प ह ज. उतपन न व गत तवणत क वर अ ध र त क ह उद हरण ख ल स डव न द खवल आह त, त अभय स. उद (1) शय मर व च च सर व प रक रच कर भर न झ लय वर व र ष क उतपन न 6,40,000 र पय आह. त दर मह न व मय च,000 र पय च हप भरत त. व र ष क उतपन न च 0% भ ग त भव षय-न र व ह न ध मधय गत तवत त. आपतक ल न खर च स ठ मह न 500 र पय ब ज ल ठ वत त, तर वर ष मधय खर च स ठ तय चय कड क त र पय रक कम उरत? उकल : (i) शय मर व च व र ष क उतपन न 6,40,000 र पय (ii) व मय स ठ न य जन ,000 र पय (iii) भव षय न र व ह न ध स ठ गत तवल ल रक कम 6,40, ,8,000 र पय 100 (iv) आपतक ल न खर च स ठ ब ज ल क ढल ल रक कम र पय \ एक ण न य ज त रक कम 4, ,8, ,000 1,58,000 र पय \ वर षभर चय खर च स ठ उरण र रक कम 6,40,000-1,58,000 4,8,000 र पय उद () श शह य न 3,0,000 र पय ब क त 10% चक रव ढवय ज न वर कर त गत तवल. तय चप रम ण तय न,40,000 र पय करमत क त म य च य अल फ ड मधय गत तवल. तय च ब ज रभ व प रम ण वर न तर तय न 3,05,000 र पय म ळ ल. तर तय च क णत गत तवण क ज सत फ यद श र ठरल? उकल (i) चक रव ढ वय ज न गत तवल लय रकम वर ल वय ज प रथम क ढ. चक रव ढ वय ज र स - मत द दल. महणज च I A - P r P n P P r 95 3,0,000 1 n

105 3,0,000 ( 11. ) 1 3,0,000 [ 11. 1] 3,0, ,00 र पय शह य न 3,0,000 र पय ब क त गत तवलय वर तय न 67,00 र पय वय ज म ळ ल. म ळ ल ल वय ज गत तवणत क चय श कड क त ह त त क ढ. वय ज च शतम न ,, \ब क त ल गत तवणत क मत ळ 1% फ यद झ ल. (ii) म य च य अल फ ड मधय वर अख र स म ळ ल ल रक कम 3,05,000 र पय \ म य च य अल फ ड त ल ल भ श 3,05,000 -,40,000 65,000 र पय \ ल भ श च शतम न ,, 000 म य च य अल फ ड त ल गत तवणत क मत ळ तय न 7.08% फ यद झ ल. य वर न अस लक ष त य त क, श शह य च म य च य अल फ ड त ल गत तवण क ज सत फ यद श र ह त. उद (3) कर मभ ई य न क चउद ग त 4,00,000 र पय च गत तवण क क ल. वर अख र स तय न तय वयवस य त न 5,0,000 र पय म ळ ल. गत तवणत क च रक कम वगळत म ळ ल ल नफ तय न 3 : य प रम ण त अनत क रम मत दत ठ व व श अर समधय गत तवल तर तय न प रतय क ब ब मधय क त रक कम गत तवल? उकल : कर मभ ई य न वर अख र झ ल ल नफ 5,0,000-4,00,000 1,0,000 र पय मत दत ठ व मधय गत तवल ल रक कम 3 5 1,0, ,000 7,000 र पय श अर समधय गत तवल ल रक कम 5 1,0,000 4,000 48,000 र पय कर मभ ई य न मत दत ठ व व श अर स य द ह मधय अनत क रम 7,000 व 48,000 र पय च गत तवण क क ल. उद (4) श अन ल य च म स क उतपन न व खर च य च गत ण ततर 5:4 आह. श अमन य च त च गत ण ततर 3: आह. तस च अमन य चय म स क उतपन न चय 4% उतपन न ह अन ल य चय म स क उतपन न चय 7% एवढ आह. अन ल य च म स क उतपन न 9600 र पय असलय स (i) श अमन य च म स क उतपन न क ढ. (ii) श अन ल व श अमन य च बचत क ढ.

106 उकल: आपण स म ह त आह क, बचत उतपन न - खर च अन ल य च उतपन न व खर च च गत ण ततर 5 : 4 अमन य च उतपन न व खर च च गत ण ततर 3 : अन ल य च उतपन न 5x म न. अमन य च उतपन न 3y म न. अन ल य च खर च 4x म न. अमन य च खर च y म न. अन ल य च म स क उतपन न 9600 र पय महणज 5x 9600 य वर न x क ढ. \ 5x 9600 x 190 म स क खर च 4x र पय अन ल य च म स क खर च 7680 र पय \ अन ल य च बचत 190 र पय अमन य चय उतपन न च 4% अन ल य चय उतपन न च 7% ह द ल आह. \ y \ 1y \ y अमन य च उतपन न 3y ,800 र पय अमन य च खर च y ,00 र पय \ अमन य च बचत 16,800-11,00 5,600 र पय श अमन य च म स क उतपन न 16,800 र पय श अमन य च बचत 5,600 र पय श अन ल य च म स क बचत 1,90 र पय क त I : अम त न र पय प क क ह रक कम 4% व उरल ल रक कम 5% वय ज न एक वर ष स ठ गत तवल. त ल एक ण वय ज 1530 र. म ळ ल, तर त न व गव गळ वय ज न गत तवल ल रक कम क ढ. उततर शबद त ल ह. 4% दर न x र. गत तवल. 5% दर न y र. गत तवल वय ज 4 x y (I)... (II) x y 97

107 उपर र : (1) प लक चय मदत न तत मचय घर त ल आठवड च जम खर च ल ह न क ढ. तय स ठ खर च चय प रक र च सत भ तय र कर. अन नध नय, श क षण, व द क य खर च, प रव स, कपड व क रक ळ खर च अश ब ब च व च र कर न सर व खर च ल ह न क ढ. जम चय ब ज ल घरखर च स ठ म ळ ल ल रक कम, आध च श ल क व क ह नव म ळकत झ लय स त न दव. () सत ट ट त स प र ण मह नय च जम खर च ल ह. प ष ठ 5 वर ल ग व दच जम खर च अभय स. क त II क रडव ह जम न असण ऱय श तकऱय च उतपन न व ढवणय स ठ क णक णत उप य करत य त ल य वर वर ग त चर च कर. क ह व द थय न ख ल लप रम ण मत वयक त क ल आह त. स ह ल : श तकऱय न फक त श तम ल व कल ज त त वह च प स म ळत त, तय तल फ यद वर षभर पत रल प ह ज महण न तय च अर थन य जन ज सत महत व च आह. प रक श : श तम ल ल र सत भ व म ळ ल तर उतपन न व ढ ल. नर ग स : अर थश सत च न यम आह क एख द वसत च पत रवठ म गण प क ष ख प ज सत झ ल तर त च क मत कम ह त, मग त च क मत कम झ ल क फ यद कम ह ण रच! र ट : जर श त च उतपन न ख प झ ल आण भ व पडणय च भ त अस ल तर क ह म ल न ट स ठव न ठ व व, न तर य गय व ळ, ब ज र त भ व व ढल क व कणय स क ढ व. आझम : तय स ठ च गल ग द म ब ध यल हव त. र शम : श तकऱय ल कम वय ज न सहज कर ज म ळ यल हव. वतसल : द ध, क क क टप लन य स रख श त प रक वयवस य क ल तर थ ड अध क उतपन न म ळ ल, श व य जन वर चय मलम त प स न च गल स द र य खत म ळ ल. क ण ल : श तम ल वर प रक र य करण र क रख न क ढल व सरबत, ज म, ल णच, व ळवल लय भ जय, फळ च गर अश वसत न ट प क ग कर न ठ वलय तर वर षभर व कत य त ल. चनय वतक षम म ल च अध क उतपन न घय व. सर वस च अलक ल दरमह प ठवल लय रकम प क 90% रक कम त खर च करत आण मह न 10 र पय च बचत करत. तर त ल प ठवणय त य ण र रक कम क ढ.. सत चमतन 50,000 र पय भ डवल घ ऊन ख द पद थ च वयवस य च ल क ल. तय मधय तय ल पह लय वरग 0% त ट झ ल. उरल लय भ डवल त द सऱय वरग तय न म ठ ईच वयवस य च ल क ल, तय त तय ल 5% नफ झ ल. तर म ळ भ डवल वर तय ल श कड क त त ट क व नफ झ ल? 3. न ख लन आपलय म स क उतपन न च 5% भ ग मत ल चय श क षण स ठ खर च क ल, 14% भ ग श अर समधय गत तवल, 3% भ ग ब क त ठ वल आण 40% भ ग द न द न खर च स ठ व परल. गत तवण क व खर चज ऊन तय चय कड 19,000 र पय उरल. तर तय च म स क उतपन न क ढ. 4. सययदभ ई य न आपलय उतपन न प क 40,000 र पय 8% चक रव ढ वय ज न वर कर त ब क त गत तवल. श फन ड स य न 1,0,000 र पय म य च य अल फ ड मधय वर कर त गत तवल. वर न तर श फन ड स य न 1,9,000 र पय म ळ ल. तर सययदभ ई व श फन ड स य प क क ण च गत तवण क ज सत फ यद श र ठरल? 5. सम र न आपलय उतपन न चय 3% उतपन न सम जक र य स ठ द ल व 90% उतपन न खर च क ल. त चय कड 1750 र पय श ल क र ह ल. तर त च म स क उतपन न क ढ. 98

108 म झ वड ल श तकर आह त. तय न श त त न म ळण ऱय उतपन न वर आयकर भर व ल गत न ह. आमचय द रधवन चय ब ल त स व कर च सम व श क ल ल असत. चल, चर च कर य. क ण क ण च प लक कर भरत त? म झ वड ल ड कटर आह त. त वयवस यकर व आयकर भरत त. म झ आई श क ष क आह. त आयकर भरत. कर महणज क य? क णक णतय प रक रच कर असत त? य बद दलच म ह त ख ल ल व बस ईटवर म ळव. ICT Tools or Links ज ण न घ ऊय. करआक रण र ष टट चय उभ रण स ठ श सन व व ध य जन आखत असत. य य जन चय क र यव ह स ठ श सन ल फ र म ठ रकम च गरज असत. अन क प रक रचय कर च आक रण कर न ह रक कम उभ क ल ज त. कर च उपय क तत (Utility of taxes) yप य भ त सत चवध पत रवण. yव व ध कलय णक र य जन च अ मलबज वण करण. yव गव गळ क ष त मधय व क स क म आण स श धन य ब बत य जन र बवण. yक यद आण सत वयवसथ र खण. yन सर ग क आपतत मत ळ ब ध त झ ल लय ल क न मदत करण. yर ष टट च आण न गर क च स रक षण करण, इतय द. कर च प रक र (Types of taxes) प रतयक कर (Direct taxes) अप रतयक कर (Indirect taxes) जय कर च भ र प रतयक ष करद तय वर पडत, जय कर च भ र प रतयक षपण करद तय वर पडत न ह, त कर महणज प रतयक ष कर. त कर महणज अप रतयक ष कर. उद. आयकर, स पतत कर, वयवस य कर उद. कर द र य व क र कर, म लयवर ध त कर, अबक र कर, कसटम ड य ट, इतय द. स व कर, इतय द. 017 स ल जय प रक र कर आक रण क ल ज त आह तय नत स र तय च प रक र वर द खवल आह त. उपर र : व व ध प रक रच कर भरण ऱय न करद र क व वय वस य क कड न व गव गळ कर व षय म ह त म ळव. 99

109 आयकर (Income tax) ज ण न घ ऊय. वयक त च, स सथ च क व इतर क यद श र उद ग च भ रत त ल उतपन न, आयकर अध न यम नवय ठरल लय मर य द प क ष अध क अस ल तर तय वर आयकर (प र प कर) आक रल ज त. य प रकरण त आपण प रतयक ष कर प क फक त वयक त न भर वय ल गण ऱय आयकर च व च र करण र आह त. आयकर च आक रण कर द र सरक र करत. भ रत मधय आयकर आक रण द न अध न यम व र क ल ज त. (1) आयकर क यद 1961 ह द प स न अशसततव त आल. () प रतय क वरग स सद त स मत क ल ज ण र अर थव षयक तरतत द असण र क यद. दरवरग स ध रणपण फ ब र व र मह नय त अर थम त आग म आर थ क वर ष स ठ तरतत द असण र अर थस कलप (Budget) स दर करत त. तय त आयकर च दर सत चवल ल असत त. स सद न अर थस कलप म ज र क ल क ह दर पत ढ ल वर ष स ठ ल ग ह त त. आयकर च दर प रतय क वरग चय अर थस कलप त न शशचत क ल ज त त. आयकर चय स दर भ त ल ब ब : y करद त (An assessee) : आयकर न यम वल मधय सम व ष ट असल लय न यम नत स र जय वयक त न आयकर द ण अप क ष त आह तय वयक त ल करद त महणत त. y व तत य वर ष (Financial year) : जय एक वर ष चय क ल वध त उतपन न म ळवल ज त तय वर ष ल व तत य वर ष अस महणत त. आपलय द श त सधय 1 एप र ल त 31 म र च ह व तत य वर ष असत. y कर आक रण वर ष (Assessment year) : व तत य वर ष चय लगतचय पत ढ ल व तत य वर ष स कर आक रण वर ष अस महणत त. च ल वर ष त म ग ल व तत य वर ष स ठ कर आक रण न शशचत क ल ज त. व तत य वर ष व स ब ध त कर आक रण वर ष ख ल नम द क ल आह. आर थ क वर ष (Financial Year) स ब ध त कर आक रण वर ष (Assessment Year) महणज त महणज त क यम ख त र र क (PAN) : प रतय क वयक त न अर ज क लय वर आयकर व भ ग कड न एक व श ष ट अस दह अ क क षर तमक क रम क द ल ज त. तय स क यम ख त र र क महणज Permanent Account Number (PAN) महणत त. अन क महत व चय क गदपत त आण आर थ क वयवह र त ह क रम क नम द करण आवशयक असत. प नक र ड च उपय ग : आयकर व भ ग कड करभरण करणय स ठ च चलन, करव वरणपत (र टर नच फ र म) इतर पत वयवह र य वर प न क रम क ल ह ण ब धनक रक असत. तस च म ठ आर थ क वयवह र करत न प न न दव व ल गत. अन क व ळ प नक र ड च उपय ग ओळख च पत र व (Identity proof) महण नह ह त. 100

110 आयकर आक रण आयकर च आक रण उतपन न वर ह त असलय मत ळ उतपन न च व व ध स त ज णण आवशयक आह. उतपन न च मत खयत प च स त आह त : (1) पग र व र म ळण र उतपन न. () घर म ळकत त न म ळण र उतपन न. (3) ध द आण वयवस य त न म ळण र उतपन न. (4) भ डवल नफय त न (Capital gain) म ळण र उतपन न. (5) इतर स त त न म ळण र उतपन न. पग रद र वयक त चय आयकर गणन स ठ महत व चय ब ब : आयकर च गणन करणय स ठ एक ण व र ष क उतपन न व च र त घ तल ज त. आयकर अध न यम चय 80C, 80D, 80G इतय द कलम न अनत सर न एक ण व र ष क उतपन न त न क ह वज वट म ळत. ह वज वट कर न उरल लय उतपन न ल करप त र उतपन न महणत त. आयकर च आक रण य उतपन न वरच क ल ज त. कर आक रण च न यम क ह व ळ बदलल ज त त, महण न प रतयक ष कर आक रण करत न अद य वत न यम म ह त असण आवशयक असत. करप त उतपन न प क ठर व क मर य द पय तचय रकम वर कर आक रल ज त न ह. य रकम स करप त उतपन न त ल म ळ सवलत रक कम अस महणत त. y श तकऱय न श तम ल चय उतपन न वर आयकर त न स ट असत. y आयकर कलम 80 G अनवय प तप रध न मदतन ध, मत खयम त मदतन ध क व म नयत प र प स सथ न द णगय द लय स आयकर त 100% स ट म ळत. y 80 D य कलम नवय आर गय स ठ चय व म हपतय वर स ट द ल ज त. y स म नयत: एक ण गत तवणत क वर 80C य कलम नवय व व ध प रक रचय गत तवणत क प क ज सत त ज सत 1,50,000 र पय पय त वज वट म ळत चय अर थस कलप नत स र जय च व र ष क उतपन न त न वज वट द खवत य त अश क ह महत व चय गत तवणत क ख ल ल आक त त द खवलय आह त : जनरल प र शवहड ट फ ड (G.P.F) म य च य अल फ ड (Mutual fund) ज ण न घ ऊय. मत ल स ठ असल ल सत कनय सम द ध य जन 1.5 ल ख 5 वर कर त प सट त क ल ल गत तवण क ग ह कर ज (मत द दल) ल क भव षय न र व ह न ध (P.P.F) व व ध न यम नत स र व र ष क उतपन न त न वज वट र ष टट य बचत प रम णपत य जन (NSC) ज वन व म Life insurance policy (LIP) श क षण क त लक ( मत ल कर त ) आर गय व म 101

111 करद तय चय वय नत स र आयकर च दर प रतय क वरग चय अर थस कलप त ठरवल ज त त. उतपन न चय टपपय प रम ण आयकर च दर दर शवण ऱय नमत न स रणय ख ल द लय आह त. स रण I 60 वष पय तचय वयक त करप त उतपन न च टपप प र शप कर म धयचमक व (र पय त) (आयकर) श क षण उपकर उच च श क षण उपकर,50,000 पय त करमत क त करमत क त करमत क त,50,001 त 5,00,000 5,00,001 त 10,00,000 10,00,000 प क ष अध क 5 टक क (करप त उतपन न वज अड च ल ख य वर) ` 1, टक क (करप त उतपन न वज प च ल ख य वर) ` 1,1, टक क (करप त उतपन न वज दह ल ख य वर) 10 आयकर चय टक क आयकर चय टक क आयकर चय टक क आयकर चय 1 टक क आयकर चय 1 टक क आयकर चय 1 टक क (व र ष क उतपन न 50 ल ख र पय त एक क ट र पय चय दरमय न असण ऱय न आयकर चय 10 टक क सरच र ज आण व र ष क उतपन न एक क ट र पय ह न अध क असण ऱय न आयकर चय 15 टक क सरच र ज) क त : वर ल स रण (I) च न र क षण कर व ख ल ल उद हरण त ल च कट त य गय स खय ल ह. उद. म हत य च व र ष क उतपन न स ड च र ल ख र पय आह. तय न उतपन न त न वज वट म ळण र क णत ह बचत क ल ल न ह, तर तय च करप त उतपन न क णतय टपपय त बस ल? तय न क त रकम वर क त टक क दर न आयकर भर व ल ग ल? ` वर दर न उपकर क त रकम वर आक रल ज ईल? स रण II जय ष ठ न गर क (वय वषष स ठ त ऐ श ) करप त उतपन न च टपप (र पय त) प र शप कर (आयकर) श क षण उपकर म धयचमक व उच च श क षण उपकर 3,00,000 पय त करमत क त करमत क त करमत क त 3,00,001 त 5,00,000 5 टक क (करप त उतपन न वज त न ल ख य वर) आयकर चय टक क आयकर चय 1 टक क 5,00,001 त 10,00,000 ` 10, टक क (करप त उतपन न वज प च ल ख य वर) आयकर चय टक क आयकर चय 1 टक क 10,00,000 प क ष अध क ` 1,10, टक क (करप त उतपन न वज दह ल ख य वर) आयकर चय टक क आयकर चय 1 टक क (व र ष क उतपन न 50 ल ख र पय त एक क ट र पय चय दरमय न असण ऱय न आयकर चय 10 टक क सरच र ज आण व र ष क उतपन न एक क ट र पय ह न अध क असण ऱय न आयकर चय 15 टक क सरच र ज)

112 क त : स रण II वर न ख ल ल क त प र ण कर. उद. श. प ड त य च वय 67 वरव आह. ग लय वरग तय च व र ष क उतपन न 13,5,000 र पय ह त. तर तय च करप त उतपन न क त ह त? तय न क त आयकर भर व ल ग ल? 13,5,000-10,00,000 3,5,000 महण न तय न स रण प रम ण 1,10,000 र पय आयकर भर व ल गण र आह च. श व य 3,5,000 र पय वर 30% महणज 3,5, र. आयकर भर व ल ग ल. महणज आयकर च रक कम + द य आयकर चय % श क षण उपकर महणज 100. द य आयकर चय 1% म धयचमक व उच च श क षण उपकर भर व ल ग ल. महणज \ एक ण आयकर आयकर + श क षण उपकर + म धयचमक व श क षण उपकर. + + `,13,75 स रण III अत जय ष ठ न गर क (वय वषष ऐ श प क अध क) उतपन न च टपप प र शप कर म धयचमक व (र पय त) (आयकर) श क षण उपकर उच च श क षण उपकर 5,00,000 पय त करमत क त करमत क त करमत क त 5,00,001 त 10,00,000 0 टक क आयकर चय आयकर चय (करप त उतपन न वज प च ल ख य वर) टक क 1 टक क 10,00,000 प क ष अध क ` 1,00, टक क आयकर चय आयकर चय (करप त उतपन न वज दह ल ख य वर) टक क 1 टक क (व र ष क उतपन न 50 ल ख र पय त एक क ट र पय चय दरमय न असण ऱय न आयकर चय 10 टक क सरच र ज आण व र ष क उतपन न एक क ट र पय ह न अध क असण ऱय न आयकर चय 15 टक क सरच र ज) उपर र : 80C, 80G, 80D य अध न यम च म ह त म ळव. प नक र ड प ह तय वर क णत म ह त असत तय च न द कर. र कडरह त (Cashless) वयवह र स ठ व परलय ज ण ऱय म र ग च म ह त म ळव. वर ल स रणय व वयक त न म ळण ऱय व व ध सवलत च उपय ग कर न आयकर च गणन कस करत त त आपण पत ढ ल उद हरण वर न समज न घ ऊ. 103

113 उद (1) श मह त य च वय 50 वरव आह. तय च एक ण व र ष क उतपन न 1,00,000 र पय आह. तय न ख ल लप रम ण गत तवण क क ल. (i) व म हप : ` 90,000 (ii) भव षय न र व ह न ध : ` 5,000 (iii) स र वजन क भव षय न र व ह न ध : ` 15,000 (iv) र ष टट य बचत प रम णपत य जन : ` 0,000 य वर न आयकर स ठ म नय असण र कप त, करप त उतपन न व आयकर क ढ. उकल : (1) एक ण व र ष क उतपन न 1,00,000 र पय आह. () 80C नत स र एक ण गत तवण क गत तवण क रक कम (र पय ) (i) व म हप 90,000 (ii) भव षय न र व ह न ध 5,000 (iii) स र वजन क भव षय न र व ह न ध 15,000 (iv) र ष टट य बचत प रम णपत य जन 0,000 एक ण 1,50,000 चनयम 80C नत स र आयकर स ठ ज सत त ज सत 1,50,000 र पय च वज वट म नय असत. (3) \ करप त उतपन न [1] मध ल रक कम - [] मध ल रक कम 1,00,000-1,50,000 10,50,000 (4) श. मह त य न भर वय ल गण ऱय आयकर च गणन स रण (I) चय स ह यय न कर. श. मह त य च करप त उतपन न `10,50,000 महणज दह ल ख प क ष अध क आह. \ स रण (I) नत स र आयकर ` 1,1, % (एक ण उतपन न वज दह ल ख य वर 30%) \ 10,50,000-10,00,000 50,000 \ आयकर 1,1, , ,1, ,000 1,7,500 य श व य % श क षण उपकर आण 1% म धयचमक व उच चश क षण उपकर य च ह सम व श कर व ल ग ल. श क षण उपकर 1,7, र पय 100 म धयचमक व उच चश क षण उपकर 1,7, र पय 100 \ एक ण आयकर 1,7, ,31,35 र पय श मह त य न भर व ल गण र एक ण आयकर 1,31,35 र पय 104

114 उद () अहमदभ ई ह 6 वर च जय ष ठ न गर क एक क पन त न कर करत त. तय च एक ण व र ष क उतपन न 6,0,000 र पय आह. तय न स र वजन क भव षय न र व ह न ध मधय 1,00,000 र पय गत तवल. तस च व मय च व र ष क हप 80,000 र पय भरल व मत खयम त चनध ल 10,000 र पय द णग द ल, तर अहमदभ ई य न क त आयकर भर व ल ग ल? उकल : (1) एक ण व र ष क उतपन न 6,0,000 र पय () एक ण कप त (न यम 80C प रम ण ) (i) स र वजन क भव षय न र व ह न ध 1,00,000 र पय (ii) व म 80,000 र पय 1,80,000 र पय (iii) 80C नत स र ज सत त ज सत 1,50,000 र पय कप त म नय. (3) मत खयम त न ध ल द ल ल रक कम (80 G प रम ण कप त) र पय. (4) करप त उतपन न (1) - [() + (3)] 6,0,000 - [1,50, ] 4,60,000 र पय स रण (II) प रम ण करप त उतपन न त न ल ख त प च ल ख र पय य मर य द त आह. \ द य आयकर (करप त उतपन न - 3,00,000) 5 (4,60,000-3,00,000) 1,60, र पय च क षण उपकर ह आयकर वर आक रल ज त, महण न, श क षण उपकर : 8, \ एक ण आयकर ` 8,40 \ अहमदभ ई य न एक ण 840 र पय इतक आयकर भर व ल ग ल. 160 म धयचमक व उच चश क षण उपकर : 8, उद (3) श मत ह द ज य च वय 50 वरव आह. तय च करप त उतपन न 16,30,000 र पय आह. तर तय न एक ण क त आयकर भर व ल ग ल? उकल : श मत ह द ज य च करप त उतपन न दह ल ख प क ष अध क य गट त आह. आत आपण स रण I व पर न तय चय आयकर च गणन कर य. स रण I प रम ण, दह ल ख प क ष अध क उतपन न स ठ, आयकर र. 1,1,500 + (करप त उतपन न वज दह ल ख य वर 30%) 105

115 श मत ह द ज य च उतपन न - दह ल ख 16,30,000-10,00,000 स रण I वर न 6,30,000 र पय द य आयकर 1,1, ,30, ,1, ,300 1,1, ,89,000 3,01,500 र पय य वर 1% म धयचमक व उच चश क षण कर % श क षण कर ,01,500 ` ,01,500 ` 6030 \ एक ण आयकर 3,01, ,10,545 \ एक ण भर व ल गण र आयकर 3,10,545 र पय सर वस च 6. (1) ख ल ल स रण च न र क षण कर. स रण मधय द ल लय वयक त न द ल लय करप त उतपन न वर आयकर भर व ल ग ल क व न ह त ल ह. अ.क र. वयक त वय करप त उतपन न (`) आयकर भर व ल ग ल क व न ह (i) (ii) (iii) (iv) (v) क. न क त श क लकणग श मत म हत श बज ज श ड स लवह `,34,000 ` 3,7,000 ` 5,8,000 ` 8,40,000 ` 4,50,000 () श कर त रस ग (वय 48 वरव ) ख जग क पन त न कर करत त. य गय भतत वगळ न तय च म स क पग र 4,000 र पय आह. त भव षय न र व ह न ध ख तय त दरमह 3000 र पय गत तवत त. तय न 15,000 र पय च र ष टट य बचत प रम णपत घ तल आह व तय न 1000 र पय च द णग प तप रध न मदत न ध ल द ल आह, तर तय चय आयकर च गणन कर. 106

116 स क र ण प रशनस ग रह 6 (1) ख ल लप क य गय पर य य न वड. (i) व व ध प रक रचय गत तवणत क प क 80 C कलम नत स र आयकर गणन स ठ ज सत त ज सत क त र पय वज वट म ळत? (A) द ड ल ख र पय (B) अड च ल ख र पय (C) एक ल ख र पय (D) द न ल ख र पय (ii) एक वयक त न मधय म ळवल लय उतपन न च कर आक रण वर ष ख ल लप क क णत? (A) (B) (C) (D) () श श खर उतपन न चय 60% खर च करत त. तय न तर उरल लय उतपन न त न 300 र पय अन थ श म ल द णग द त त त वह तय चय कड 3,00 र पय उरत त, तर तय च उतपन न क ढ. (3) श ह र ल ल य न,15,000 र पय म य च य अल फ ड मधय गत तवल. तय च वर न तय न 3,05,000 र पय म ळ ल. श रमण कल ल य न 1,40,000 र पय 8% दर न चक रव ढ वय ज न वर कर त ब क त गत तवल. तर प रतय क ल झ ल ल श कड फ यद क ढ. क ण च गत तवण क अध क फ यद श र झ ल? (4) एक बचत ख तय मधय वर ष चय सत र व त ल 4,000 र पय ह त. तय मधय 56,000 र पय च भर घ तल व त सर व रक कम 7.5% दर न चक रव ढ वय ज न ब क त गत तवल. तर 3 वर न तर एक ण क त रक कम परत म ळ ल? (5) श मन हर य न आपलय उतपन न च 0% भ ग आपलय म ठ मत ल ल आण 30% भ ग ध कट मत ल स द ल. न तर उरल लय रकम चय 10% रक कम द णग महण न श ळ ल द ल. त वह तय चय कड 1,80,000 र पय उरल. तर श मन हर य च उतपन न क ढ. (6 * ) क ल सच उतपन न चय 85% इतक खर च ह त अस. तय च उतपन न 36% व ढल त वह तय च खर च प वग चय खर च चय 40% व ढल. तर तय च आत ह ण र श कड बचत क ढ. (7 * ) रम श, सत र श आण प र त य त घ च ह एक ण व र ष क उतपन न 8,07,000 र पय आह. त त घ आपलय उतपन न च अनत क रम 75%, 80% आण 90% भ ग खर च करत त. जर तय चय बचत च गत ण ततर 16 : 17 : 1 अस ल तर प रतय क च व र ष क बचत क ढ. (8) ख ल ल वयक त च द य आयकर च गणन कर. (i) श कदम य च वय 35 वरव अस न तय च करप त उतपन न 13,35,000 र पय आह. (ii) श ख न य च वय 65 वरव अस न तय च करप त उतपन न 4,50,000 र पय आह. (iii) क. वर ष (वय 6 वरव ) य च करप त उतपन न,30,000 र पय आह. ICT Tools or Links भ रत सरक रचय य व बस इटल भ ट द. तय स इटवर ल incometax calculator य म नय वर शल क कर. य ण ऱय फ र ममधय क लपचनक उतपन न आण वज वट चय क लपचनक रकम ल ह न आयकर च रक कम क ढणय च प रयतन कर. 107

117 7 स बखयक चल, श क य. ज डसत ल ख प र थशरक व द ययर स मग र व भ ज त सत ल ख अवगत क त व वगत क त व र व रत व तरण स रण शतम न सत ल ख स च त व र व रत स रण मधय, मधयक आण बह लक (अवगत क त स मग र स ठ ) जर आठव य. म ग ल इयतत मधय आपण स ध सत भ ल ख व ज डसत भ ल ख कस क ढ यच ह प ह ल आह. तस च वर तम नपत, म स क, द रदर शन इतय द म धयम त न व व ध आल ख प ह न तय च म ह त म ळवल आह. म ह त चय सवर प प रम ण तय म ह त च य गय स दर करण करण र आल ख क ढत य ण महत व च असत. उद. एक श तकऱय ल तय चय श त त न गह व जव र य द न प क च त न वर त म ळ ल ल उतप दन दर शवण र ज डसत भ ल ख क ढ न द खवल आह. तय वर न पत ढ ल प रशन च उततर ल ह. (i) त न वर मधय क णतय ध नय च उतप दन सतत व ढल? (ii) 01 मधय 011 प क ष जव र च उतप दन क त कम झ ल? (iii) 010 मध ल गवह च उतप दन व 01 मध ल गवह च उतप दन य त ल फरक क त? (iv) य आल ख त ल म ह त वर न ख ल ल स रण प र ण कर. उतप दन क व टलमधय y-अक ष प रम ण y-अक ष वर 1 स म 10 क व टल वरव जव र गह x-अक ष वर ष उतप दन (क व टल) गह जव र एक ण उतप दन

118 व भ ज त सत ल ख (Sub-divided bar diagram) स मग र त ल म ह त च तत लन दर शवण र सत भ ल ख व गळ पद धत न ह क ढत य त. तय ल व भ ज त सत भ ल ख महणत त. तय स ठ स मग र त ल एक च प रक रचय द न ब ब चय ब रज करत त, आल लय ब रज य गय प रम ण घ ऊन सत भ न दर शवत त, सत भ च प रतय क ब ब दर शवण र प रम णबद ध भ ग करत त. म ग ल उद हरण त ल म ह त दर शवण र व भ ज त सत भ ल ख कस क ढ यच ह प ह. (i) एक ण उतप दन एवढ प रतय क सत भ च उ च य गय प रम ण न द खव व. (ii) तय मधय गवह च उतप दन ह एक ण उतप दन चय सत भ च एक भ ग अस ल. त क ह खत ण न दर शव व. (iii) सत भ च र ह ल ल भ ग ह स हज कच जव र च उतप दन द खव ल. त व गळ खत ण न दर शव व. ज ण न घ ऊय. उतप दन क व टलमधय y-अक ष गह जव र प रम ण y-अक ष वर 1 स म 5 क व टल वरव य र त न श ज र क ढल ल व भ ज त सत भ ल ख प ह. द न ब ब च शतम न न क ल ल तत लन कध कध ज सत उपय ग असत, ह आपण अभय सल आह. उद हरण र थ, 000 र पय वर 600 र पय नफ आण 1500 र पय वर 510 र पय नफ, य त 600 र पय नफ ह ज सत द सत. पण द नह नफय च अनत क रम 30% आण 34% ह शतम न लक ष त घ तल, तर 1500 र पय वर 510 र पय नफ ह वयवह र अध क फ यद श र आह, ह लक ष त य त. शतम न सत ल ख (Percentage bar diagram) द ल लय म ह त च तत लन व गळ प रक र समजणय स ठ द ल ल म ह त शतम न त र प तर त कर न ज व भ ज त सत भ ल ख क ढत त, तय ल शतम न सत भ ल ख महणत त. म ग ल उद हरण त ल म ह त च शतम न श ज र ल स रण त क ढ न द खवल आह त. x-अक ष वर ष गवह च जव र च एक ण उतप दन चय उतप दन उतप दन प रम ण त गवह चय (क व.) (क व.) उतप दन च शतम न % % % 109

119 ह म ह त दर शवण र सत भ ल ख ख ल ल प यऱय न क ढल आह. (i) प रतय क वर ष त ल गह व जव र चय एक ण उतप दन त असल ल गवह चय उतप दन च व जव र चय उतप दन च शतम न क ढल. (ii) प रतय क सत भ च Y-अक ष वर ल उ च प रम ण न 100 घ तल. (iii) गवह चय उतप दन च एक ण उतप दन श असल ल शतम न, घ तल लय प रम ण न सत भ च भ ग खत ण कर न दर शवल. (iv) सत भ च उरल ल भ ग ह एक ण उतप दन त ल जव र च शतम न दर शवत. द नप क ष अध क ब ब च म ह त ह व भ ज त क व शतम न सत भ ल ख न दर शवत य त. y-अक ष श कड उतप दन गह प रम ण y-अक ष वर स म 10 क व टल जव र वरव x-अक ष स डवल ल उद हरण उद (1) श ज र शतम न सत भ ल ख द ल आह. तय मधय द न क ट ब च व व ध ब ब वर ल खच च म ह त द ल आह. तय वर न ख ल ल प रशन च उततर ल ह. (i) प रतय क क ट ब चय व व ध ब ब वर ल खच च शतम न ल ह. (ii) क णतय क ट ब च अन नध नय च खर च तय चय एक ण खर च चय प रम ण त ज सत आह? क त टककय न ज सत आह? (iii) द नह क ट ब चय इतर खच च टक क व र क त क त आह? (iv) क णतय क ट ब चय व जखर च च टक क व र ज सत आह? (v) क णतय क ट ब चय श क षणखर च च टक क व र ज सत आह? खर च % y-अक ष प रम ण y-अक ष वर 1स म 10% क ट ब A क ट ब B इतर कपड लतत व ज श क षण अन नध नय x-अक ष

120 उकल : (i) क ट ब खर च अन नध नय कपड लतत श क षण व ज इतर A 60% 10% 10% 5% 15% B 50% 15% 15% 10% 10% (ii) क ट ब A च अन नध नय च खर च एक ण खर च चय प रम ण त क ट ब B चय खर च प क ष 10% ज सत आह. (iii) क ट ब A च इतर खर च 15% आण क ट ब B च इतर खर च 10% आह. (iv) क ट ब B चय व जखर च च शतम न ज सत आह. (v) क ट ब B चय श क षणखर च च शतम न ज सत आह. (1) ख ल ल स रण मधय भ रत त ल ट रक व बस य च जवळचय प र ण ल ख त ल स खय ख ल द ल आह. तय वर न शतम न सत भ ल ख क ढ. (शतम न जवळचय प ण क पय त घय.) वर ष ट रकच स खय बसच स खय सर वस च () ख ल ल स रण मधय भ रत त ल पककय रसतय च व कचचय रसतय च म ह त द ल आह. तय वर न चवभ ज त व शतम न सत भ ल ख क ढ. (शतम न जवळचय प ण क पय त घय.) वरव पक क रसत (लक ष क म ) कच च रसत (लक ष क म ) क त : ख ल ल स रण मधय व व ध र जय त ल प रतय क 1000 मत लगय म ग असण र मत ल च स खय द ल आह. तय वर न द ल लय स रण मध ल र क मय च कट भर. र जय मत लगय च स खय मत ल च स खय एक ण मत लगय च शतम न (जवळचय प ण क पय त) मत ल च शतम न (जवळचय प ण क पय त) आस म % % ब ह र प ज ब क रळ मह र ष ट र स रण वर न म ळ ल लय म ह त च शतम न सत भ ल ख क ढ. तय वर न न षकर ष क ढ न चर च कर

121 व च र कर य. प ष ठ क रम क 111 वर ल क त स ठ द ल लय स रण त प च र जय त ल दर हज र मत लगय म ग असल ल मत ल च स खय द ल आह. तय च र जय त ल स क षरत च प रम ण ख ल द ल आह. आस म (73%), ब ह र (64%), प ज ब (77%), क रळ (94%) व मह र ष ट र (83%) स रण त ल मत ल च स खय आण तय तय र जय त ल स क षरत च प रम ण य च व च र कर. तय वर न क ह न षकर ष म ळत क? 11 चल, चर च कर य. पत ढ ल म ह त दर शवणय स ठ क णतय प रक रच सत भ ल ख क ढण य गय ठर ल? (1) च र ग व मध ल स क षर च श कड प रम ण. () एक क ट ब च व व ध घटक वर ह ण र खर च. (3) प च तत कड प क प रतय क तत कड त ल मत लग व मत ल य चय स खय. (4) त न द वस च लल लय व ज न प रदर शन ल र ज भ ट द ण ऱय वयक त च स खय. (5) ज न व र त ज न य प रतय क मह नय त ल तत मचय ग व च कम ल व क म न त पम न. (6) द च क च लवत न ह लम ट व परण ऱय आण न व परण ऱय 100 क ट ब त ल वयक त च स खय स बखयक (Statistics) ज ण न घ ऊय. एख द म ठ सम ह च अभय स करणय स ठ तय त ल क ह घटक च पत र स लह न गट य द शचछक पद धत न न वडत त. ह म ठ गट च प र त न ध क गट असत. य प र त न ध क गट च अभय स स ब ध त म ह त जम करत त. ह म ह त बह त श व ळ स शखयक सवर प त असत. त च व शल रण कर न क ह न षकर ष क ढत त. य प रक रचय अभय स ल स शखयक (statistics) अस न व आह. Statistics ह शबद status य ल ट न शबद प स न तय र झ ल आह. य च अर थ र जय त ल शसथत अस ह त. य वर न प वग स शखयक ह श सत र जय चय प रश सक य वयवह र श स ब ध त ह त अस द सत. पर तत सधय य श सत च उपय ग सर वच क ष त त क ल ज त. सर र न लड ऐलरर फ शर (Sir Ronald Aylmer Fisher) (17 फ ब र व र जत ल 196) ह न स खय सत च जनक म नत त. म ह त च स कलन (Data collection) श क ष क : एक ग व त ल प रतय क क ट ब कड क त श त आह ह म ह त स कल त कर यच आह, क य कर ल? र बर ट : ग व त ल प रतय क घर ज ऊन प रतय क कड क त श त आह य च न द कर. श क ष क : अगद बर बर, व द थग चमत न एख द व श ष ट सम ह व षय आपण ज म ह त एकत करत त प र मत खय न स खय चय सवर प त असत. त ल स मग र महणत त. स मग र स कल त करणय प वग त आपण कश स ठ व परण र आह त ह म ह त अस यल हव. जर एख द वयक त न म ह त घ णय चय ठ क ण ज ऊन प रशन व च रण, म जद द करण इतय द प रक र स मग र च स कलन क ल तर तय स मग र ल प र थम क स मग र महणत त.

122 अ फर न : महणज च र बर टन स ग तलय प रम ण प रतय क घर ज ऊन श त च स कल त क ल ल म ह त ह प र थम क स मग र र ह ल. श क ष क : श बब स आफर न! रम श : पर तत वर ल म ह त अगद कम व ळ त स कल त कर यच अस ल तर? श क ष क : रम शच महणण बर बर आह. तर अश व ळ म ह त स कलन च द सर उप य क य अस ल य वर व च र कर. क तक : आपण तल ठ क र य लय त ज ऊन तय चय कड ल उपलबध न द वर न श त च म ह त स कल त कर शकत. श क ष क : बर बर, क ह पररशसथत त व ळ च उपलबधत, स धन च अभ व अश क रण मत ळ स मग र च स कलन वयशक त : करण शकय ह त न ह. अश व ळ इतर न स कल त क ल ल स मग र, क र य लय न दसतऐवज त प रस द ध झ ल ल स मग र, सरक र व भ ग त ल उपलबध म ह त, श ध न ब ध, य सवर प त असल ल स मग र व परत त. अश स मग र ल द ययम स मग र अस महणत त. महणज च क तक न सत चवलय नत स र तल ठ क र य लय त ज ऊन श त च स कल त क ल ल म ह त ह द ययम स मग र ह य. ख ल ल उद हरण प ह. (i) वर तम नपत त ल म ह त व पर न क ल ल तक त ह द ययम स मग र ह ईल. (ii) उप ह रग ह त पद थ च दर ज समजणय स ठ ग र हक न तय च अभ प र य व च र न म ळवल ल म ह त, ह प र थम क स मग र ह ईल. (iii) वर ग त ल व द थय चय उ च च प रतयक ष म ज न क ल ल न द, ह प र थम क स मग र ह ईल. प र थशरक स मग र 1. स कलन करणय स ज सत व ळ ल गत.. अद य वत व तपश लव र असत. 3. अच क आण व शवसन य असत. 113 द ययर स मग र 1. तवर त उपलबध ह ऊ शकत.. ह मधय प वग स कल त क ल ल म ह त घ तलय मत ळ त अद य वत असत च अस न ह. म ह त च तपश ल वच त कम पडत. 3. ह कम व शवसन य अस शकत. क त तत मह अन क व ळ व गव गळ क रण स ठ म ह त ग ळ करत ; अश 3 त 4 उद हरण घ ऊन ग ळ क ल ल स मग र प र थम क आह क द ययम आह य वर चर च कर. सर वस च 7. (1) ख ल लप रम ण ग ळ क ल लय स मग र च प र थम क स मग र क व द ययम स मग र य मधय वगग करण कर. (i) प रतयक ष वर ग त ज ऊन श ळ त ल प रतय क वर ग त ल व द थय च हज र च म ह त ग ळ क ल. (ii) प रतय क व द थय वचय उ च च म ह त वर ष ठ क र य लय स त तड न प ठव यच असलय न श ळ त ल श र र क श क षण व भ ग त ल न द वर न म ह त ग ळ क ल. (iii) न दप र य थ ल प रतय क क ट ब त ल श ल ब ह व द थय च म ह त प रतयक ष घर ज ऊन ग ळ क ल. (iv) व ज न प रकलप स ठ प रतयक ष ज गल त ज ऊन झ ड च प हण कर न म ह त ग ळ क ल.

123 जर आठव य. स मग र च वगत करण (Classification of data) उद (1) एक श ळ त ल इयतत 9 व चय 50 व द थय न प रथम घटक च चण त गण त त 0 प क म ळवल ल गत ण ख ल लप रम ण आह त. 0, 6, 14, 10, 13, 15, 1, 14, 17, 17, 18, 11, 19, 9, 16, 18, 14, 7, 17, 0, 8, 15, 16, 10, 15, 1, 18, 17, 1, 11, 11, 10, 16, 14, 16, 18, 10, 7, 17, 14, 0, 17, 13, 15, 18, 0, 1, 1, 15, 10 य थ स कल त क ल लय स खय तमक म ह त स क य महणत त?... कच च स मग र. य त ल प रतय क स खय ल क य महणत त?... प र प क. वर ल म ह त वर न ख ल ल प रशन च उततर म ळव. (i) 15 गत ण म ळवण र एक ण व द थग क त? (iv) सव त कम गत ण क त आह त? (ii) 15 गत ण प क ष ज सत गत ण म ळवण र एक ण व द थग क त? (v) सव त ज सत गत ण क त आह त? (iii) 16 गत ण प क ष कम गत ण म ळवण र एक ण व द थग क त? 114 चल, चर च कर य. (1) तत मह ल वर ल प रशन च उततर अगद सहजपण म ळ ल क प रतय क व ळ गत ण च न र क षण कर व ल गल? () वर ल क म त सत लभत य णय स ठ क य करत य ईल? म म : वर ल उततर प रतय क व ळ न र क षण त न म ळत असलय मत ळ ह क म क चकट व क ट ळव ण झ ल आह, पर तत द ल ल कच च स मग र चढतय क व उतरतय क रम न ल ह लय स य क म त सत लभत य ऊ शक ल. शम मचय महणणय नत स र स मग र त ल गत ण चढतय क रम न ल ह. 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 0, 0, 0, 0 म ह त चढतय क रम न ल ह लय वर उद 1 मध ल प चह प रशन च उततर सत लभत न म ळत त क य? य च पडत ळ घय. पडत ळ वर न ह सपष ट ह ईल क स मग र चढतय क रम न म डलय मत ळ प चह प रशन च उततर अगद सहज म ळत त. जर आठव य. म टग न : स मग र स रण सवर प त म ड नसत द ध वर ल क म त अध क सत लभत आणत य त, ह आमह म ग ल इयतत त अभय सल आह. य स रण ल व र व रत व तरण स रण महणत त. श क ष क : म टग न, अगद बर बर! आत ह स रण आध च च उद. 1 चय आध र तय र कर.

124 उद हरण (1) मधय सव त कम गत ण 6 आह त आण सव त ज सत गत ण 0 आह त. महण न स रण मधय प र प क चय सत भ त 6 त 0 प र प क ल ह. द सऱय सत भ त त ळ चय खत ण कर न श वटचय सत भ त खत ण म ज न व र व रत ल ह. व र व रत व तरण स रण प र प क (गत ण) त ळ चय खत ण व र व रत (f)(व द थग स खय ) एक ण N 50 N ह सर व व र व रत च ब र ज आह. 115 चल, चर च कर य. वगत क त व र व रत व तरण स रण (Grouped frequency distribution table) वर ल व र व रत व तरण स रण मधय, (1) ह स रण ख प म ठ झ ल अस व टत क य? () ज वह स मग र त ल प र प क च स खय ज सत अस ल त वह ह स रण तय र करण कठ ण ह ईल क य? श क ष क : वर ल चचव वर न लक ष त आल क, ज वह स मग र त ल प र प क च स खय ज सत असत त वह व र व रत व तरण स रण च व सत र म ठ ह त. त तय र करणय स ख प व ळ ल गत. स रण च व सत र आण व ळ कम करणय स ठ क ह उप य सत चवत य त ल क य? र ह त : अश व ळ स मग र च गट प ड व त.

125 श क ष क : श बब स र ह त, स मग र च गट प डल महणज च वर ग तय र क ल तर त स मग र आट पश र ह ऊन व ळह कम ल ग ल.अश स रण ल च वगग क त व र व रत व तरण स रण महणत त. ह स रण द न पद धत न म डत य त. (1) सम व शक पद धत व () असम व शक पद धत (1) सम व शक पद धत (ख ड त वर ग) (Inclusive method) 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 0, 0, 0, 0 वर ल स मग र मधय सर व त लह न प र प क व सव त म ठ प र प क आह. सव त म ठ आण सव त लह न प र प क त ल फरक आह. य फरक ल च स मग र च व सत र अस महणत त. ह व सत र लक ष त घ ऊन स मग र च स ईसकर अस क णत वर ग तय र करत य त ल? (i) 6 त 8, 9 त 11, 1 त 14, 15 त 17, 18 त 0 क व (ii) 6 त 10, 11 त 15, 16 त 0 अस वर ग करत य त ल. ह स रण तय र करत न 6, 10 आण तय मध ल सर व प र प क च 6 त 10 य वर ग त सम व श झ ल महण न स रण तय र करणय चय य पद धत ल सम व शक पद धत महणत त. 6 त 10, 11 त 15, 16 त 0 य वग न ख ड त वर ग महणत त. 6 त 10, 11 त 15 आण 16 त 0 ह वर ग घ ऊन वर ल स मग र च व र व रत व तरण स रण तय र कर. वगग क त व र व रत स रण (सम व शक पद धत ) वर ग त ळ चय खत ण व र व रत (f) (व द थग स खय ) 6 त त त N 50 ज ण न घ ऊय. स बखयक मध ल क ह स ज (Basic terms in statistics) (1) वर ग (Class) : प र प क चय स ईसकर आक र चय गट न वर ग अस महणत त. 6 त 10, 11 त 15 ह वर ग 6-10, अस ह ल ह त त. () वर गमर य द (Class limits) : वर ग दर शवण ऱय स खय न वर गमर य द महणत त. 6 त 10 य वर ग च 6 ह ख लच वर गमर य द व 10 ह वरच वर गमर य द आह. (3) व र व रत (Frequency) : प रतय क वर ग त ज वढ प र प क य त त, तय प र प क चय एक ण स खय स तय वर ग च व र व रत महणत त. वर ल स रण त 11 त 15 य वर ग त 0 प र प क य त त. 11 त 15 य वर ग च व र व रत 0 आह अस महणत त. 116

126 4. वग तर क व वर गअवक श (Class width) : अख ड त वर ग द ल असत न लगत य ण ऱय द न वग चय ख लचय (क व वरचय ) मर य द त ल फरक ल वग तर अस महणत त. उद. 5-10, 10-15, 15-0,... अस वर ग असलय स, 5-10 च वग तर आह. 5. वर गमधय (Class mark) : वर ग चय ख लचय व वरचय वर गमर य द चय सर सर स वर गमधय महणत त. ख लच वर गमर य द + वरच वर गमर य द वर गमधय उद. 11 त 15 य वर ग च वर गमधय () असम व शक पद धत (अख ड त वर ग) (Exclusive method) उद. 6, 10, 10.3, 11, 15.7, 19, 0, 1, 13 ह प र प क द ल आह त. 6-10, 11-15, 16-0 अस वर ग घ ऊन य च वगग क त व र व रत स रण तय र कर. उकल : वर ग (प र प क) त ळ चय खत ण व र व रत (f) वर ल स रण त द ल लय प र प क प क 10.3 व 15.7 ह द न प र प क सम व ष ट करत आल न ह त. क रण 10.3, 15.7 ह स खय 6-10, 11-15, 16-0 ह प क क णतय ह वर ग त सम व ष ट ह त न ह त. य कर त वर गरचन बदल व ल ग ल. महण न ह वर ग 5-10, 10-15, 15-0,... य प रम ण सलग ल ह लय स वर ल प रशन न र म ण ह ण र न ह. पर तत 10 य प र प क च न द 5-10, य प क क णतय वर ग त कर यच ह प रशन न र म ण ह त. ह अडचण द र करणय स ठ 10 ह प र प क 5-10 य वर ग त न घ त य वर ग त सम व ष ट कर व अस स क त म नत त. महण न 10 च न द य वर ग त ह ईल. य पद धत ल असम व शक पद धत महणत त. अश प रक र वर ग घ तलय मत ळ 10.3 व 15.7 य स खय च स रण मधय सम व श करत आल. आत य प रम ण वर ग घ ऊन आण स क त प ळ न तय र क ल ल स रण प ह. वगग क त व र व रत व तरण स रण (असम व शक पद धत ) वर ग (अख ड त) गत ण त ळ चय खत ण व र व रत (f) (व द थग स खय )

127 ह लक त ठ व य. व र व रत व तरण स रण अवगग क त इयतत नवव त ल व द थय च वय व द थय च स खय सम व शक पद धत (ख ड त वर ग) बत ट च क रम क व द थग स खय वगग क त असम व शक पद धत (अख ड त वर ग) उ च (स म ) व द थग स खय (1) 0 त 5 य वर ग च ख लच व वरच मर य द ल ह. () 35 त 40 य वर ग च वर गमधय क ढ. (3 * ) एक वर ग च मधय 10 अस न वर गअवक श 6 आह, तर त वर ग क णत? (4) ख ल ल स रण प र ण कर. वर ग (वय वरव ) त ळ चय खत ण व र व रत ( f ) (व द थग स खय ) सर वस च 7.3 N f 35 (5) एक श ळ चय हर तस न त ल 45 व द थय प क प रतय क न क ल लय व क ष र पण च स खय ख ल द ल आह. 3, 5, 7, 6, 4, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 3, 6, 6, 5, 3, 4, 5, 7, 3, 5, 6, 4, 4, 3, 5, 6, 6, 4, 3, 5, 7, 3, 4, 5, 7, 6, 4, 3, 5, 4, 4, 7. य वर न अवगग क त व र व रत व तरण स रण तय र कर. (6) π च 50 दश श सथळ पय त क मत ख ल द ल ल आह य वर न दश श च नह न तरचय अ क च अवगग क त व र व रत व तरण स रण तय र कर. 118

128 (7 * ) ख ल ल स रण त ल म ह त वर न वग तर क ढ व अख ड त वर ग व ख ड त वर ग असण र व र व रत व तरण स रण तय र कर. (i) वर गमधय व र व रत (ii) वर गमधय व र व रत (8) एक श ळ त ल इयतत 9 व चय 46 व द थय न तय चय क प समध ल प शनसल च ल ब म ज वय स स ग तल. त स ट म टरमधय ख ल लप रम ण आह. 16, 15, 7, 4.5, 8.5, 5.5, 5, 6.5, 6, 10, 1, 13, 4.5, 4.9, 16, 11, 9., 7.3, 11.4, 1.7, 13.9, 16, 5.5, 9.9, 8.4, 11.4, 13.1, 15, 4.8, 10, 7.5, 8.5, 6.5, 7., 4.5, 5.7, 16, 5.7, 6.9, 8.9, 9., 10., 1.3, 13.7, 14.5, , 5-10, 10-15,... य प रम ण वर ग घ ऊन असम व शक पद धत न वगग क त व र व रत व तरण स रण तय र कर. (9) एक ग व त ल सहक र द ध स कलन कर द र वर 50 वयक त न प रतय क क त ल टर द ध जम क ल आह तय च म ह त ख ल द ल आह. 7, 75, 5, 99, 70, 1, 15, 0, 30, 35, 45, 80, 77, 90, 9, 7, 4, 33,, 15, 0, 8, 9, 14, 16, 0, 7, 81, 85, 10, 16, 9, 5, 3, 6, 46, 55, 56, 66, 67, 51, 57, 44, 43, 6, 65, 4, 36, 7, 35 य गय वर ग घ ऊन वगग क त व र व रत व तरण स रण तय र कर. (10) एक स सथ ल द वय ग व क स न ध स ठ ग व त ल 38 ल क न प रतय क क ह र पय द ल, ह म ह त ख ल द ल आह. 101, 500, 401, 01, 301, 160, 10, 15, 175, 190, 450, 151, 101, 351, 51, 451, 151, 60, 360, 410, 150, 15, 161, 195, 351, 170, 5, 60, 90, 310, 360, 45, 40, 100, 105, 170, 50, 100 (i) , , 00-49,... अस वर ग घ ऊन वगग क त व र व रत व तरण स रण तय र कर. (ii) स रण वर न 350 र पय व तय प क ष अध क न ध द ण ऱय च स खय क त आह ह ल ह. 119

129 ज ण न घ ऊय. वरचय वर गमर य द प क ष कम स च त व र व रत स रण (Less than cumulative frequency) उद. इयतत 9 व चय एक श ळ त ल 50 व द थय न प रथम घटक च चण त गण त त 40 प क म ळवल लय गत ण च व र व रत व तरण स रण पत ढ द ल आह. वर ग व र व रत (व द थग स खय ) (f) एक ण N 50 (1) स रण वर न ख ल ल व ध न त ल र क मय ज ग भर. (i) 10 त 0 य वर ग च ख लच वर गमर य द व वरच वर गमर य द आह. (ii) 10 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? (iii) 0 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? + 14 (iv) 30 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? + 34 (v) 40 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? + 50 ह लक त ठ व य. एख द व श ष ट वर ग च व र व रत आण तय वर ग चय आध चय सर व वग चय व र व रत य चय ब रज ल तय वर ग च वरचय मर य द प क ष कम प रक रच (Less than cumulative frequency) स च त व र व रत महणत त. थ डकय त ह ल प क ष कम स च त व र व रत सत द ध महणत त. वरचय वर गमर य द प क ष कम स च त व र व रत स रण च अर थ वर ग (गत ण) व र व रत प क ष कम स च त व र व रत एक ण 50 वर ग स च त वरचय वर गमर य द प क ष कम च अर थ व र व रत 0-10 व द थय न 10 प क ष कम गत ण व द थय न 0 प क ष कम गत ण व द थय न 30 प क ष कम गत ण व द थय न 40 प क ष कम गत ण एक ण 50 10

130 () ख लचय वर गमर य द एवढ क व तय प क ष ज सत स च त व र व रत स रण वर ग स च त वर ग व र व रत स च त व र व रत व र व रत एक ण 50 उद. एक सप ट ट स ल बचय ट बलट न सचय स मनय स ठ आल लय ख ळ ड चय वय च वगग करण ख ल ल स रण त द ल आह. तय वर न ख लच वर गमर य द क व त चय ह न ज सत व र व रत स रण प र ण कर. उकल : ख लचय वर गमर य द प क ष ज सत स च त व र व रत स रण वय (वर ष) त ळ चय खत ण व र व रत (व द थग स खय ) 11 ख लच वर गमर य द क व त चय ह न ज सत स च त व र व रत (1) ख ल ल स च त व र व रत स रण प र ण कर ख लच वर गमर य द क व ख लचय वर गमर य द प क ष ज सतच अर थ व द थय न 0 क व 0 प क ष ज सत गत ण म ळ ल व द थय न 10 क व 10 प क ष ज सत गत ण म ळ ल व द थय न 0 क व 0 प क ष ज सत गत ण म ळ ल व द थय न 30 क व 30 प क ष ज सत गत ण म ळ ल एक ण N 50 सर वस च 7.4 वर ग (उ च स म मधय ) व र व रत (व द थग स खय ) प क ष कम स च त व र व रत एक ण N 45

131 () ख ल ल स च त व र व रत स रण प र ण कर. वर ग (म स क उतपन न र पय ) व र व रत (वयक त च स खय ) प क ष ज सत क व त वढ च स च त व र व रत एक ण N 87 (3) एक वर ग त ल 6 व द थय न गण त व षय त 100 प क म ळ ल ल गत ण ख ल द ल आह त. 0-10, ह वर ग घ ऊन व र व रत स रण आण स च त व र व रत स रण (प क ष ज सत) तय र कर. 55, 60, 81, 90, 45, 65, 45, 5, 30, 85, 0, 10, 75, 95, 09, 0, 5, 39, 45, 50, 78, 70, 46, 64, 4, 58, 31, 8, 7, 11, 78, 97, 07,, 7, 36, 35, 40, 75, 80, 47, 69, 48, 59, 3, 83, 3, 17, 77, 45, 05, 3, 37, 38, 35, 5, 46, 57, 68, 45, 47, 49 तय र क ल लय स रण वर न ख ल ल प रशन च उततर ल ह. (i) 40 क व 40 प क ष अध क गत ण म ळवण र व द थग क त? (ii) 90 क व 90 प क ष अध क गत ण म ळवण र व द थग क त? (iii) 60 क व 60 प क ष अध क गत ण म ळवण र व द थग क त (iv) 0-10 य वर ग च प क ष ज सत क व त वढ च स च त व र व रत क त? (4) वर ल उद हरण (3) स ठ प क ष कम स च त व र व रत स रण तय र कर य वर न ख ल ल प रशन च उततर ल ह. (i) 40 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? (ii) 10 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? (iii) 60 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? (iv) य वर ग च प क ष कम स च त व र व रत क त? ज ण न घ ऊय. क द य प रव तत च पर म ण : (Measures of central tendancy) क द य प रव तत : सवव क षण न म ळवल लय स शखयक स मग र मधय स म नयपण एक गत णधर म आढळत. स मग र त ल एख द स खय चय आसप स इतर स खय च गदग अध क झ ल ल द सत. सम ह चय य गत णधर म ल सम ह च कर द र य प रव तत महणत त. सम ह त ल जय स खय चय आसप स इतर स खय च अध क गदग असत, त स खय तय सम ह च प रत न ध तव करत अस म नत त. अश स खय ल कर द र य प रव तत च पर म ण महणत त. स शखयक मधय कर चद रय प रव तत च पत ढ ल पर म ण प र मत खय न व परल ज त त. 1

132 (1) मध य (Mean) स मग र तर ल सर व स ख च अ कगण तर सर सरर ल त स मग र च मध अस म हणत त. स मग र च मध स मग र तर ल सर व प प क चर ब रर ज स मग र तर ल प प क चर एक ण स ख उद (1) 5, 30, 7, 3 आण 5 य प प क च मध क ढ. उकल उद () इयतत नररर च 35 व द र न प थम सत र परर क त बर जगण त त 40 प क म ळ ल ल ग ण ख लर लप म ण आ ह त. त रर न ग ण च मध क ढ. 40, 35, 30, 5, 3, 0, 14, 15, 16, 0, 17, 37, 37, 0, 36, 16, 30, 5, 5, 36, 37, 39, 39, 40, 15, 16, 17, 30, 16, 39, 40, 35, 37, 3, 16. उकल : य थ प प क चर स ख ज सत असल म ळ ब रर ज तर करत य ईल, पर त आकड म ड क ल ष ट ह ईल. य थ 3 व द र न प त क 30 ग ण आ ह त. त च ग ण चर ब रर ज अशर करण ऐवजर अशर करण स ईच आ ह. त स ठर व र व रत स र र उपय गर पडत. ग ण व द थथ स ख f i x i n स ख श सत र त ह च न ह व परण i 1 n ख प स ईच असत. f i x i य च i 1 अर थ समज न घ ऊ. i ह धन प क आ ह. f i व द र न प त क x i ग ण म ळ ल अस समज. S (स गम ) ह च न ह ब रज स ठर व परल ज त. i 1 मध x N f i x i 956 fx i i 956 N (अ द ज ) \ द ल ल स मग र च मध 7.31 आ ह. n च न ह i च 1 त n य क मत स ठर n पद चर ब रर ज ठरवत. ह 13

133 () मधयक (Median) स मग र त ल स खय चढतय (क व उतरतय ) क रम न म डत त. य म डण त ल मधयभ ग य ण ऱय स खय ल तय स मग र च मधयक महणत त. स मग र त ल प र प क च स खय सम अस ल तर मधय वर य ण ऱय द न स खय च सर सर ह मधयक म नत त. उद. (1) 7, 66, 87, 9, 63, 78, 54 य स मग र च मधयक क ढ. उकल द ल ल प र प क चढतय क रम न म ड. 54, 63, 66, 7, 78, 87, 9 ` य म डण त च थ स खय मधय वर य त, त 7 आह. \ द ल लय स मग र च मधयक 7 उद. () 30, 5, 3, 3, 4, 36, 40, 33, 1, 43 य स मग र च मधयक क ढ. उकल द ल ल प र प क चढतय क रम न ल ह. 1, 3, 5, 30, 3, 33, 36, 40, 4, 43 य थ प र प क च स खय 10, महणज सम आह. \ प चव व सह व अश द न स खय मधय वर य त ल. तय अनत क रम 3 व 33 आह त. \ स मग र च मधयक व च र कर य. स मग र त ल प र प क च स खय n असत न, (i) n व षम अस ल तर क तव प र प क तय स मग र च मधयक अस ल? (ii) n सम असत न क तवय द न प र प क च सर सर तय स मग र च मधयक अस ल? (3) बह लक (Mode) स मग र मधय सर व ध क व ळ य ण र प र प क महणज तय स मग र च बह लक ह य. उद. (1) 90, 55, 67, 55, 75, 75, 40, 35, 55, 95 य स मग र च बह लक क ढ. उकल स मग र त ल प र प क चढतय क रम न म डल तर क णत प र प क सर व ध क व ळ आल आह, ह ओळखण स प ज ईल. चदल लय स मग र च चढत क रम 35, 40, 55, 55, 55, 67, 75, 75 90, 95 य वर न सर व ध क व ळ आल ल प र प क 55 \ द ल लय स मग र च बह लक 55. उद () एक क रख नय त ल क मग र च वय ख ल ल स रण त द ल आह त. वय (वरव ) क मग र य वर न तय चय वय च बह लक क ढ. उकल : य थ सर व ध क व र व रत 15 आह. पर तत ह व र व रत द न प र प क च आह. \ बह लक 1 व 7 \ वय च बह लक 1 वरव व 7 वरव 14

134 सर वस च 7.5 (1) मत क दच 7 वर च स य ब नच एकर उतपन न क व टलमधय 10,7,5,3,9,6,9 अस आह. य वर न एकर उतपन न च मधय क ढ. () द ल लय स मग र च मधयक क ढ. 59,75,68,70,74,75,80 (3) गण त चय ग हप ठ त 7 व द थय न म ळ ल ल 100 प क गत ण ख ल लप रम ण आह त. 99, 100, 95, 100, 100, 80, 90 य वर न म ळ ल लय गत ण च बह लक क ढ. (4) एक क रख नय त ल 30 क मग र न म ळत असल ल म स क पग र र पय मधय ख ल लप रम ण आह. 5000, 7000, 3000, 4000, 4000, 3000, 3000, 3000, 8000, 4000, 4000, 9000, 3000, 5000, 5000, 4000, 4000, 3000, 5000, 5000, 6000, 8000, 3000, 3000, 6000, 7000, 7000, 6000, 6000, 4000 य वर न क मग र च म स क पग र च मधय क ढ. (5) एक ट पल त ल 10 ट म ट च वजन ग र ममधय प रतय क 60, 70, 90, 95, 50, 65,70, 80, 85, 95 अश आह त. य वर न ट म ट चय वजन च मधयक क ढ. (6) एक ह क ख ळ ड न 9 स मनय त क ल ल ग ल ख ल लप रम ण आह त. 5, 4, 0,,, 4, 4, 3, 3 य वर न मधय, मधयक व बह लक क ढ. (7) 50 प र प क च मधय 80 आल. पर तत य त ल 19 ह प र प क चत क न 91 घ णय त आल अस न तर लक ष त आल, तर द र सत न तरच मधय क त? (8) य थ 10 प र प क चढतय क रम न म डल ल आह त,, 3, 5, 9, x + 1, x + 3, 14, 16, 19, 0 जर तय च मधयक 11 आह तर x च क मत क ढ. (9 * ) 35 प र प क च मधय 0 आह. य प क पह लय 18 प र प क च मधय 15 व श वटचय 18 प र प क च मधय 5 अस ल तर 18 व प र प क क ढ. (10) प च प र प क च मधय 50 आह. य प क एक प र प क कम झ लय स मधय 45 ह त, तर त प र प क क णत? (11 * ) एक वर ग त 40 व द थग अस न तय प क 15 मत लग आह त. एक पर क ष त मत लगय न म ळ ल लय गत ण च मधय 33 व मत ल चय गत ण च मधय 35 आह य वर न वर ग त ल एक ण व द थय न म ळ ल लय गत ण च मधय क ढ. (1) 10 व दय थय च क ल ग र ममध ल वजन ख ल लप रम ण आह त. 40, 35, 4, 43, 37, 35, 37, 37, 4, 37 य वर न बह लक क ढ.. (13) ख ल ल स रण त क ह क ट ब त ल 14 वर ख ल ल अपतय च स खय दर शवल आह. य वर न 14 वर ष ख ल ल अपतय चय स खय च बह लक क ढ. अपतय च स खय क ट ब (व र व रत ) (14) ख ल ल स मग र च बह लक क ढ. प र प क (गत ण) व द थग स खय

135 कर द र य प रव तत च क णत पर म ण घ ण य गय असत? य प रशन च उततर, त क णतय ह त न न वड यच य चय स ब ध त असत. समज, एख द क र क टचय ख ळ ड न सलग अकर स मनय मधय अनत क रम 41, 58, 35, 80, 3, 1, 63, 48, 107, 9 आण 73 ध व क ढलय. तय च एक ण कर त तव ठरवत न तय न प रतय क स मनय त क ढल लय ध व व च र त घ ण आवशयक आह. महण न तय चय ध व च कर द र य प रव तत मधय य पर म ण न ठरवण य गय ह ईल. तस च कपड तय र करण ऱय एख द क पन ल क णतय म प च शर ट ज सत स खय न श व व त ठरव यच आह. तय स ठ (34, 36, 38, 40, 4, 44 य प क ) क णतय म प च शर ट अध क ध क ल क व परत त ह सवव क षण न श ध व ल ग ल. महणज कर द र य प रव तत च बह लक ह पर म ण न वडण य गय ह ईल. स क र ण प रशनस ग रह 7 (1) य गय पर य य न वड. (i) ख ल लप क क णत स मग र प र थम क स मग र न ह? (A) वर ग ल भ ट द ऊन व द थय चय हज र च म ह त ग ळ क ल. (B) प रतयक ष भ ट द ऊन घर त ल वयक त चय स खय च म ह त ग ळ क ल. (C) तल ठ कड ज ऊन ग व त ल प रतय क श तकऱय च स य ब नचय ल गवड ख ल ल क ष त न दवल. (D) प रतयक ष प हण कर न न लय चय सवचछत च म ह त घ तल. (ii) 5-35 ह वर ग च वरच वर ग मर य द क णत? (A) 5 (B) 35 (C) 60 (D) 30 (iii) 5-35 ह वर ग च वर गमधय क णत? (A) 5 (B) 35 (C) 60 (D) 30 (iv) 0-10, 10-0, अस वर ग असण ऱय व र व रत स रण त 10 ह प रप क क णतय वर ग त सम व ष ट कर व? (A) 0-10 (B) 10-0 (C) 0-10 व 10-0 ह द नह वग त (D) 0-30 (v * ) जर x ह x 1,x...x n आण y ह y 1, y,.y n च मधय अस ल आण z ह x 1,x...x n, y 1, y,.y n य च मधय अस ल तर z? (A) x+ y (B) x + y (C) x + y (vi * ) प च स खय च मधय 50 अस न तय त ल 4 स खय च मधय 46 आह, तर प चव स खय क णत? (A) 4 (B) 0 (C) 434 (D) 66 (vii * ) 100 प र प क च मधय 40 आह. जर तय त ल 9 व प र प क 30 आह. तय चय ज ग 70 घ तल व उरल ल प र प क तस च ठ वल तर नव न मधय क णत आह? (A) 40.6 (B) 40.4 (C) 40.3 (D) 40.7 (viii) 19, 19, 15, 0, 5, 15, 0, 15 ह स मग र च बह लक क णत? (A) 15 (B) 0 (C) 19 (D) 5 16 n (D) x + y n

136 (ix) 7, 10, 7, 5, 9, 10 ह स मग र च मधयक क णत? (A) 7 (B) 9 (C) 8 (D) 10 (x) ख ल ल स रण नत स र ह वर ग च वरचय वर गमर य द प क ष कम स च त व र व रत क त? वर ग व र व रत (A) 13 (B) 15 (C) 35 (D) () 0 कर मच ऱय चय पग र च मधय 10,50 र पय आह. जर तय मधय क र य लय प रमत ख च पग र म ळवल तर मधय 750 र पय न व ढत, तर क र य लय प रमत ख च पग र क ढ. (3) नऊ स खय च मधय 77 आह, जर तय चय मधय पत नह एक स खय म ळवल असत मधय 5 न व ढत, तर म ळवल ल स खय क णत? (4) एक शहर च एक मह नय च दरर जच कम ल त पम न स शलसअस अ श मधय ख ल लप रम ण आह. य गय वर ग घ ऊन वगग क त व र व रत व तरण स रण (सलग वर ग) तय र कर. 9., 9.0, 8.1, 8.5, 3.9, 9., 34., 36.8, 3.0, 31.0, 30.5, 30.0, 33, 3.5, 35.5, 34.0, 3.9, 31.5, 30.3, 31.4, 30.3, 34.7, 35.0, 3.5, 33.5, 9.0, 9.5, 9.9, 33., 30. स रण वर न ख ल ल प रशन च उततर ल ह. (i) कम ल त पम न 34 c प क ष कम असण र द वस क त? (ii) कम ल त पम न 34 c क व तय प क ष ज सत असण र द वस क त? (5) जर ख ल ल प र प क च मधय 0. अस ल तर p च क मत क ढ x i f i 6 8 p 10 6 (6) म ड ल ह यसक ल न दप र य थ ल इयतत 9 व चय 68 व द थय न ल ख पर क ष त गण त त 80 प क म ळवल ल गत ण ख ल द ल आह त. 70, 50, 60, 66, 45, 46, 38, 30, 40, 47, 56, 68, 80, 79, 39, 43, 57, 61, 51, 3, 4, 43, 75, 43, 36, 37, 61, 71, 3, 40, 45, 3, 36, 4, 43, 55, 56, 6, 66, 7, 73, 78, 36, 46, 47, 5, 68, 78, 80, 49, 59, 69, 65, 35, 46, 56, 57, 60, 36, 37, 45, 4, 70, 37, 45, 66, 56, , ह वर ग घ ऊन वरचय वर ग मर य द प क ष कम स च त व र व रत स रण तय र कर. तय स रण चय आध र पत ढ ल प रशन च उततर ल ह. (i) 80 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? (ii) 40 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त? (iii) 60 प क ष कम गत ण म ळवण र व द थग क त 17

137 (7) उद. 6 मध ल स मग र चय आध र 30-40, अस वर ग घ ऊन ख लचय वर ग मर य द प क ष ज सत स च त व र व रत स रण तय र कर. य वर न (i) 70 क व 70 प क ष ज सत गत ण म ळवण र व द थग क त? (ii) 30 क व 30 प क ष ज सत गत ण म ळवण र व द थग क त? (8) ख ल ल 10 प र प क चढतय क रम न म डल ल आह त. 45,47,50,5,x, x+, 60,6,63,74 य च मधयक 53 आह. य वर न x च क मत क ढ. तस च चदल लय स मग र च मधय व बह लक क ढ. गण त ग मत प सकलच त र क ण क व म र प रसतर स खय च वर ल आक त ब ध चत क ण क र म डण त आह. ह म डण प सकलच चत क ण महण न ओळखल ज त. य म डण त ल पत ढ ल त न ओळ तत मह ल ह. य म डण त आडवय ओळ त य ण ऱय स खय (x + y) य द व पद चय घ त चय व सत र च क रमव र य ण र सहगत णक असत त. ख ल ल व सत र प ह. (x + y) 0 1 (x + y) 1 1x + 1y (x + y) 1x + xy + 1y (x + y) 3 1x 3 + 3x y + 3xy + y 3 (x + y) 4 1x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + 1y 4 य व सत र त ल x आण y चय घ त क च न र क षण कर. तय वर न (x + y) 10 च व सत र ल ह णय च प रयतन कर. 18

outbind:// B86B85FC BADB8E678AD1C EDF

outbind:// B86B85FC BADB8E678AD1C EDF Page 1 of 6 म य न ट च 'इक न मकल' ल च 26 Oct 2008, 2327 hrs IST -न ल श बन आप य खश त भरप र न ट अस य त अस क ण ल व टण र न ह? पण आप य खश त प न स पय प म ठ न ट असण ह च ' इक़ न मकल ' ल च आह. य म य न ट म ळ च ब क

अधिक जानकारी

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Concept Map ग त वषयक नयम बल स त लत बल अस त लत बल न य टनच ग त वषयक प हल नयम न य टनच ग त वषयक द सर नयम न य टनच ग त वषयक तसर नयम जडत व स व ग प रवतर न च दर स व ग अक षय यत च नयम य बल आ ण त य बल ग त वषयक नयम

अधिक जानकारी

इ य त त नवव वज ञ न आ ण त ज ञ न : श क ष णक नय जन व म ल यम पन व थ य न आध नक वज ञ न च ओळख क न द त न वज ञ न च झ ल ल व स व त य र म नव ल समजल ल स च नयम आ ण

इ य त त नवव वज ञ न आ ण त ज ञ न : श क ष णक नय जन व म ल यम पन व थ य न आध नक वज ञ न च ओळख क न द त न वज ञ न च झ ल ल व स व त य र म नव ल समजल ल स च नयम आ ण इ य त त नवव वज ञ न आ ण त ज ञ न : श क ष णक नय जन व म ल यम पन व थ य न आध नक वज ञ न च ओळख क न द त न वज ञ न च झ ल ल व स व त य र म नव ल समजल ल स च नयम आ ण त य च ओळख व थ य र स ह ण आवश यक आह. तस च आपल य प थ व

अधिक जानकारी

आचार संिहता आिण िनतीम􁱫ा

आचार संिहता आिण िनतीम􁱫ा आच र स हत आ ण नत म ल च आ ण अय ग य द न य ब बत ध रण Magna International Inc. भ ट आ ण 1 ल च आ ण अय ग य द न य ब बत ध रण म त य क द श मध य आपल य सवर वस यक वह र त ल च आ ण अय ग य द न य न मन ई करत ह ध रण Magna

अधिक जानकारी

41.00

41.00 41.00 म ज र क रम क : मर श स प रप/अव व /श प र २०१५-१६/१६७३ गण त इयत त सहत व महत रत ष ट र रत जय पत ठ यप सतक न र म त व अभ य सक रम स श धन म डळ, प ण - ४११ ००४. श ज रच क य आर क ड तस च प स तक त इतर ठ क ण द ल

अधिक जानकारी

म हल च ह क : जम न, ज गल, प ण वभ गव र ब ठक म य झ ल य चच च स त अहव ल म च २०१६ अ य स क, आय एल एस वध मह व य लय स स यट फ र म ट ग प ट सप ट ह इक स ट म म न जम

म हल च ह क : जम न, ज गल, प ण वभ गव र ब ठक म य झ ल य चच च स त अहव ल म च २०१६ अ य स क, आय एल एस वध मह व य लय स स यट फ र म ट ग प ट सप ट ह इक स ट म म न जम म हल च ह क : जम न, ज गल, प ण वभ गव र ब ठक म य झ ल य चच च स त अहव ल म च २०१६ अ य स क, आय एल एस वध मह व य लय स स यट फ र म ट ग प ट सप ट ह इक स ट म म न जम ट (स प क म) अथ सह य वसएड इ डय, प ण म हल च ह क : जम

अधिक जानकारी

Microsoft Word - NED 2014

Microsoft Word - NED 2014 र य श ण दन न म सरक र आ ण अन द नत श ळ प ढ ल आ ह न य वषय वर र य तर य प रषद म गळव र, दन क २५ न ह बर २०१३ सक ळ ९:०० त स य क ळ ५:०० पय त थळ : Ôर ग वर र ग वरÕ, च थ मजल, म लय सम र, यशव तर व च ह ण त न, म बई ४०००२१

अधिक जानकारी

क त पवत रक व ळ: 2 त स इ. १० व ववज ञ न आव त त रज ञ न: भ ग 1 ग : 40 स चन : 1. सर व प रश न स डर ण आर श यक आह. 2. आर श यक त थ श स त र य र त त ररक द ष ट य

क त पवत रक व ळ: 2 त स इ. १० व ववज ञ न आव त त रज ञ न: भ ग 1 ग : 40 स चन : 1. सर व प रश न स डर ण आर श यक आह. 2. आर श यक त थ श स त र य र त त ररक द ष ट य क त पवत रक व ळ: 2 त स इ. १० व ववज ञ न आव त त रज ञ न: भ ग 1 ग : 40 स चन : 1. सर व प रश न स डर ण आर श यक आह. 2. आर श यक त थ श स त र य र त त ररक द ष ट य य ग य न मत रनर द त रशत आक त य क ढ. 3. प रत य क म ख

अधिक जानकारी

त न क ल गत... भ तक ळ मन त स ठवत, वत म न ल मन म ण व कवत भ व य च व ध घ ण -य कत वव न म हल च ग थ...! स य द-य ख -य त वसल ल शह प र न व च एक त ल क. प वस ळय त

त न क ल गत... भ तक ळ मन त स ठवत, वत म न ल मन म ण व कवत भ व य च व ध घ ण -य कत वव न म हल च ग थ...! स य द-य ख -य त वसल ल शह प र न व च एक त ल क. प वस ळय त त न क ल गत... भ तक ळ मन त स ठवत, वत म न ल मन म ण व कवत भ व य च व ध घ ण -य कत वव न म हल च ग थ...! स य द-य ख -य त वसल ल शह प र न व च एक त ल क. प वस ळय त द थड भ न व हण र नद आ ण भ तश त न स प ण प रसरच आप य

अधिक जानकारी

Microsoft Word - DDR

Microsoft Word - DDR सभ सद न स थ कड न व वध क रण स ठ उद. सद नक वकर करण, गह ण ठ वण, द र त करण, भ डय न द ण इत य द ब बत न हरकत म णपतर द ण ब बत. सहक र ग ह नम र ण स थ सहक र आय क त व नब धक, सहक र स थ, मह र टर र ज य, प ण -1 य च क

अधिक जानकारी

Microsoft Word - instructions

Microsoft Word - instructions प व प ट लम य श ण स वक पद क रत अज करण -य उम दव र स ठ स चन : अज त ह त प र सर ख ट, च क च व अप ण म हत द ण क व खर म हत दडव न ठ वण क व य त बदल करण क व प ठ वल य द ख य य त त ल न द त अन धक तपण ख ड ख ड करण क व ख

अधिक जानकारी

स्थूलपणा : एक ‘आजार’

स्थूलपणा : एक ‘आजार’ Presented By Dr. Maya Khandat (Associate Professor) Dept. Home Science स थ लपण म हणज क य? आपल य तण वप णण ज वनश ल म ळ आर ग य वर ह ण ऱ य अन क द ष पररण म प क स थ लपण ह सव णत ह ननक रक पररण म आह. शर र त अनतररक

अधिक जानकारी

र शभ व य - ज न व र, २०१७. द द द मल ( ) ह नव वष आपण सव न स ख च व आर यस प नत च ज व, ह स द छ! =======================================

र शभ व य - ज न व र, २०१७. द द द मल ( ) ह नव वष आपण सव न स ख च व आर यस प नत च ज व, ह स द छ! ======================================= र शभ व य - ज न व र, २०१७. द द द मल ( dadadamle@gmail.com ) ह नव वष आपण सव न स ख च व आर यस प नत च ज व, ह स द छ! ========================================================= (१) म ष - य र श य म डळ न य म ह य

अधिक जानकारी

सर व स वठ खग लश वस त र - एक स र व त व कसन व ल खन नवन र म त लनन ग फ उ ड शन ट म आयस नवर नजर य म ह म स ठ व ज न प रस रचय मदत न 1

सर व स वठ खग लश वस त र - एक स र व त व कसन व ल खन नवन र म त लनन ग फ उ ड शन ट म आयस नवर नजर य म ह म स ठ व ज न प रस रचय मदत न 1 सर व स वठ खग लश वस त र - एक स र व त व कसन व ल खन नवन र म त लनन ग फ उ ड शन ट म आयस नवर नजर य म ह म स ठ व ज न प रस रचय मदत न 1 सव स ठ खग लश स त र - एक स र व त व न नफ श क षण क क म स ठ ह प स तक जस च तस भ ष

अधिक जानकारी

आचार संिहता आिण िनतीम􁱫ा

आचार संिहता आिण िनतीम􁱫ा आच र स हत आ ण नत म व सर ध आ ण स पध र य ब बत ध रण व सर ध आ ण स पध र य ब बत ध रण म ज म न म न य य य र तन स पध र करत आ ण व जव व म स पध च समथर न करत. आम ह ज य न य य धक रक ष मध य स पध र करत त थ ल ग असल ल य सवर

अधिक जानकारी

Microsoft Word - CHAPTER 3 PART2 MARATHI.docx

Microsoft Word - CHAPTER 3 PART2 MARATHI.docx भ ग 2: व य य क यर प त 3 प रकरण त ल घटक प यक रम शक य च न प त छ) वम प लस कश खर द क य ज त त 3.9, 3.11, 3.15 आ ण लह य ज त त ज) मह व च क गदपत र 3.8, 3.12, 3.13, 3.14, 3.17 झ) व य त ल मह व च श द 3.8, 3.15, 3.16

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Document1

Microsoft Word - Document1 समजप व क व चन मजक र च क र :- अज द. २ डस बर २०१५ त म. म य य पक, ज ह प रषद थ मक श ळ र मप र, त. ज. स गल. वषय :- ब बळ पध त सहभ ग ह य ब बत अज द र :- सद शव पर जप म. मह दय, म आप य श ळ त ल आठव च व य थ आह. श णक

अधिक जानकारी

मर ठ (द व त य भ ष ) अक षरभ रत इयतत दह व ² इयतत दह व चय प रसत व त आर खड न स र नम न क त पवर क क र.१ व ळ- ३ त स क त पवर क स ठ स चन 1 एक ण ग ण-१०० (१) स च

मर ठ (द व त य भ ष ) अक षरभ रत इयतत दह व ² इयतत दह व चय प रसत व त आर खड न स र नम न क त पवर क क र.१ व ळ- ३ त स क त पवर क स ठ स चन 1 एक ण ग ण-१०० (१) स च मर ठ (द व त य भ ष ) अक षरभ रत इयतत दह व ² इयतत दह व चय प रसत व त आर खड न स र नम न क त पवर क क र.१ व ळ- ३ त स क त पवर क स ठ स चन 1 एक ण ग ण-१०० (१) स चन न स र आकलनक त व व करण य मध ल आक त क ढ व त. (२) आक

अधिक जानकारी

प द र श णश पद वक अ य स म मह र श सन श ल य श ण व ड वभ ग, प द र श ण य जन सन सव म यम य, सव व थ पन य अन द नत / वन अन द नत / क यम वन अन द नत श ळ म

प द र श णश पद वक अ य स म मह र श सन श ल य श ण व ड वभ ग, प द र श ण य जन सन सव म यम य, सव व थ पन य अन द नत / वन अन द नत / क यम वन अन द नत श ळ म मह र श सन श ल य श ण व ड वभ ग, प द र श ण य जन सन 2016-2017 सव म यम य, सव व थ पन य अन द नत / वन अन द नत / क यम वन अन द नत श ळ मध ल अ श त श क, श ण स वक य न प द र श णश पद वक अ य स म स ठ व श म हत प तक मह र

अधिक जानकारी

एक भ रत ठ भ रत सव च स थ सव च वक स नवडण क ज हरन म 2014 मह व च अ श त वन आज भ रत ल ड म स, ड म फ आ ण डम ड य व प त द लभ अश मत च आ ण स ध च वरद न मळ ल आह. जर

एक भ रत ठ भ रत सव च स थ सव च वक स नवडण क ज हरन म 2014 मह व च अ श त वन आज भ रत ल ड म स, ड म फ आ ण डम ड य व प त द लभ अश मत च आ ण स ध च वरद न मळ ल आह. जर एक भ रत ठ भ रत सव च स थ सव च वक स नवडण क ज हरन म 2014 मह व च अ श त वन आज भ रत ल ड म स, ड म फ आ ण डम ड य व प त द लभ अश मत च आ ण स ध च वरद न मळ ल आह. जर आपण मजब त द य स आ ण य च सद पय ग कर य स स म झ ल, तर

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Whistle Blower Policy - FNL- 03[1][1] circulated to staff_final

Microsoft Word - Whistle Blower Policy - FNL- 03[1][1] circulated to staff_final १. त वन : हसल ल वर य जन ई स क श क ड ल मट ड, ज न तर आय.स.स.एल हण न ओळखल ज ईल, ह त य यवह र त उ च न तक दज आ ण न तक सच ट, प रदश कत आ ण य यत स ठ क टब आह. आय.स.स.एल. उ च दज च य वस यकत, म णकपण, सच ट आ ण न तक

अधिक जानकारी

The Jabil Code (Marathi)

The Jabil Code (Marathi) ज बल स हत ज बलच अ वत य क पन स क त जग त ल सव तम ल क आप य कड अस व त आ ण ठ ह य स ठ य न सश त करण य वर क त आह य न आ ह ल EMS उ प दन उ य ग त न त बनवल आह. वष न वष आ ह य स क त ल क ळज प व क ज प सल आ ण य क र, जगभर

अधिक जानकारी

Microsoft Word - 237_hindi.doc

Microsoft Word - 237_hindi.doc भ रत य स सद र ज य सभ न क स ब ध म स ख यक य स चन 237व सतर 26 नव बर, 2015 स 23 दस बर, 2015 तक सत यम व जयत भ रत य स सद र ज य सभ क स ब ध म स ख यक य स चन 237व सतर 26 नव बर, 2015 स 23 दस बर, 2015 तक र ज य सभ

अधिक जानकारी

MAR मग येशू आला आणि बोलावले VGR

MAR मग येशू आला आणि बोलावले VGR मग य श आल आण ब ल वल स त य ह न, 11व अध य य 18व य वचन प स न स व त क, म व च इ च छत. ब थ न य शल म जवळ म हणज त थ न प ऊण क स वर ह त. त थ यह प क प ष कळ ल क म थ र व म रय च त य च य भ व बद दल स त वन करण य स आल ह

अधिक जानकारी

Microsoft Word - booklet-he-mala-mahit-hava-11-oct-15.docx

Microsoft Word - booklet-he-mala-mahit-hava-11-oct-15.docx म लग ११-१२ वष च झ ल क त वय त य ऊ ल गल अस हणत त. त य शर र त व वभ व त क ह बदल ह ऊ ल गत त. तस च म सक प ळ स ह त. य म ळ त ग धळ न ज त. अस क ह त आह य च न मक म हत तल सहस मळत न ह. म ल न च क य पण अन क म ठ य य न

अधिक जानकारी

स गल प स ल उ प दन प त एक ज द ई चर ग - म नष उमर ण, ९८२२३९०३६३ म टर ग ल ट (न व बदलल आह ) क रख य त शरल त फ नवर ब लतच. द ड ल ख कन ट ग य सच ओड र ह त त. पर

स गल प स ल उ प दन प त एक ज द ई चर ग - म नष उमर ण, ९८२२३९०३६३ म टर ग ल ट (न व बदलल आह ) क रख य त शरल त फ नवर ब लतच. द ड ल ख कन ट ग य सच ओड र ह त त. पर स गल प स ल उ प दन प त एक ज द ई चर ग - म नष उमर ण, ९८२२३९०३६३ म टर ग ल ट (न व बदलल आह ) क रख य त शरल त फ नवर ब लतच. द ड ल ख कन ट ग य सच ओड र ह त त. पर त एक म ह य य आत ड लवर य यच ह त. द ड ल ख य स हणज अ द

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Amruta_Maza_NIRMAN_Prawas

Microsoft Word - Amruta_Maza_NIRMAN_Prawas म झ नम ण नम ण व स ग ल द न वष म प य त South Asia Network on Dams Rivers and People (SANDRP) य स थ बर बर क म करत आह. न, य य वर ब धल ज ण र धरण, य धरण म ळ नम ण ह ण य पय वरण य आ ण स म जक सम य, य नम ण ह य म

अधिक जानकारी

Microsoft Word list.docx

Microsoft Word list.docx -2-1 0105019 उ पल आन द 2 0022773 क ण ल म ह न 3 0104016 श भम क म र झ 4 0012605 श भ कर एम न यर 5 0032560 क लकण र नश त प र य त 6 0021020 स स द रन थन आ द य 7 0023391 स यश उ कषर 8 0153419 गजर ज स ह 9 0078093

अधिक जानकारी

क न य म प रषद क स च 247 व स (10 दस बर, 2018 क स थ त क अन स र) म म डल स तर क म 1. नर न म द ध न म तथ नम न म लय क भ र : क मक, ल क शक यत और प शन म लय; परम

क न य म प रषद क स च 247 व स (10 दस बर, 2018 क स थ त क अन स र) म म डल स तर क म 1. नर न म द ध न म तथ नम न म लय क भ र : क मक, ल क शक यत और प शन म लय; परम क न य म प रषद क स च 247 व स (10 दस बर, 2018 क स थ त क अन स र) म म डल स तर क 1. नर न म द ध न तथ नम न म लय क भ र : क मक, ल क शक यत और प शन म लय; परम ण ऊज वभ ग; अ त रक ष वभ ग; तथ सभ महत वप णर न तगत म और उन

अधिक जानकारी

MODULE ONLINE SATBARA ई स तब र Information for All E-Governance for All Building Knowledge Bridge for Digital Divide

MODULE ONLINE SATBARA ई स तब र Information for All E-Governance for All Building Knowledge Bridge for Digital Divide MODULE ONLINE SATBARA ई स तब र Information for All E-Governance for All Building Knowledge Bridge for Digital Divide www.pukar.org.in www.facebook.com/pukarindia www.youtube.com/pukarorg www. azadkhayaal.wordpress.com

अधिक जानकारी

ई न वद फ म स सवड नगरप रषद, स सवड त. प र दर, ज. प ण वभ ग :- श सन वभ ग वषय :- नगरप रषद क य लय त ल व वध वभ ग कड ल क य लय न छप ई करण. ई न वद म क : 05/ श स

ई न वद फ म स सवड नगरप रषद, स सवड त. प र दर, ज. प ण वभ ग :- श सन वभ ग वषय :- नगरप रषद क य लय त ल व वध वभ ग कड ल क य लय न छप ई करण. ई न वद म क : 05/ श स ई न वद फ म स सवड नगरप रषद, स सवड त. प र दर, ज. प ण वभ ग :- श सन वभ ग वषय :- नगरप रषद क य लय त ल व वध वभ ग कड ल क य लय न छप ई करण. ई न वद म क : 05/ श सन वभ ग सन 2017-2018 -------------------------------------------------------------------------

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Council of Minsters _Hindi_ as on

Microsoft Word - Council of Minsters _Hindi_ as on 244व सतर (14 दस बर, 2017 क थ त क अन स र) क न दर य म तर प रष क स च म तर म डल तर क 1. नर न दर म द ध न तथ न न म तर लय क भ र : क र मक, ल क शक यत और प शन म तर लय; परम ण ऊज र वभ ग; अ त रक ष वभ ग; तथ सभ महत वप

अधिक जानकारी

भ रत क स सद (ल क सभ स चव लय) ल क सभ श ध अध य त व ल क सभ स चव लय क स सद य अ भ च क वषय पर प स तक ल खन ह त वषर 2016 क लए 21 श ध अध य त व य द न करन क स त

भ रत क स सद (ल क सभ स चव लय) ल क सभ श ध अध य त व ल क सभ स चव लय क स सद य अ भ च क वषय पर प स तक ल खन ह त वषर 2016 क लए 21 श ध अध य त व य द न करन क स त भ रत क स सद (ल क सभ स चव लय) ल क सभ श ध अध य त व ल क सभ स चव लय क स सद य अ भ च क वषय पर प स तक ल खन ह त वषर 2016 क लए 21 श ध अध य त व य द न करन क स त व ह इन अध य त व य, जनक म ध यम स उ स तर य स सद य वषय

अधिक जानकारी

श ळय म ढय म य ह ण र आज र व तब ध मक उप य श ळ म ढ प लन वस य म य जस स ग पन व व थ पन य ल मह व तस च श ळय च आर य स ततक च मह व च आह. श ळय म ढय य आर य व थ पन

श ळय म ढय म य ह ण र आज र व तब ध मक उप य श ळ म ढ प लन वस य म य जस स ग पन व व थ पन य ल मह व तस च श ळय च आर य स ततक च मह व च आह. श ळय म ढय य आर य व थ पन श ळय म ढय म य ह ण र आज र व तब ध मक उप य श ळ म ढ प लन वस य म य जस स ग पन व व थ पन य ल मह व तस च श ळय च आर य स ततक च मह व च आह. श ळय म ढय य आर य व थ पन त न क ळज पण द ख व य स कळप त ल जन वर न व वध र ग च ल

अधिक जानकारी

श ळय न सकस आह र... श ळ प लन कड वस यक द क ण त न ब घतल ज त अस य म ळ ब द त श ळ प लन ह स क पन दवस दवस ल क य ह त आह. य वस य म य ६० त ७० ट खच ह श ळय य ख वर

श ळय न सकस आह र... श ळ प लन कड वस यक द क ण त न ब घतल ज त अस य म ळ ब द त श ळ प लन ह स क पन दवस दवस ल क य ह त आह. य वस य म य ६० त ७० ट खच ह श ळय य ख वर श ळय न सकस आह र... श ळ प लन कड वस यक द क ण त न ब घतल ज त अस य म ळ ब द त श ळ प लन ह स क पन दवस दवस ल क य ह त आह. य वस य म य ६० त ७० ट खच ह श ळय य ख वर ह त अस य म ळ ब द त प दत न स ग पन करण य श ळ प लक न,

अधिक जानकारी

Microsoft Word - stastical information 236 session_Hindi.doc

Microsoft Word - stastical information 236 session_Hindi.doc भ रत य स सद र ज य सभ न क स ब ध म स ख यक य स चन 236व सतर 21 ज ल ई, 2015 स 13 अग त, 2015 तक सत यम व जयत भ रत य स सद र ज य सभ क स ब ध म स ख यक य स चन 236व सतर 21 ज ल ई, 2015 स 13 अग त, 2015 तक र ज य सभ स

अधिक जानकारी

Microsoft Word - statistical_information_229th Session_2013_hindi[1]

Microsoft Word - statistical_information_229th Session_2013_hindi[1] भ रत य स सद र ज य सभ सत यम व जयत न क स ब ध म स ख यक य स चन र ज य सभ क द स उनत सव सतर (5 अग त, 2013 स 7 सत बर, 2013 तक) र ज य सभ स चव लय, नई द ल 2013 भ रत य स सद र ज य सभ सत यम व जयत क स ब ध म स ख यक य

अधिक जानकारी

Microsoft Word - 230th_hindi_version

Microsoft Word - 230th_hindi_version भ रत य स सद र ज य सभ न क स ब ध म स ख यक य स चन 230व सतर 5 दस बर, 2013 स 21 फरवर, 2014 तक सत यम व जयत भ रत य स सद र ज य सभ क स ब ध म स ख यक य स चन 230व सतर 5 दस बर, 2013 स 21 फरवर, 2014 तक र ज य सभ स चव

अधिक जानकारी

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation link to song mazi ladki sushila म झ ल डक, म झ, म झ ल डक स श ल मल एकट य ल स ड न; ग ल द सरय ट क ल... स श ल ल उ च ह त, ट च ह त, ह त त ग ररप न ग ल वर एक त ळ, त च म झ स ल...स श ल ल एक ह त स वक र, त य च इस ट

अधिक जानकारी

घ म कर क म श! क त घ म य त आह! ट ळ आल! म बईच य उन ह ळ य त ह व त ग न उच च रल ल व क य न हम च ऐ यल ममळत. चल प श खपण ऱ य सगरण, बस क व ल ल प ड यल ध वण र च र

घ म कर क म श! क त घ म य त आह! ट ळ आल! म बईच य उन ह ळ य त ह व त ग न उच च रल ल व क य न हम च ऐ यल ममळत. चल प श खपण ऱ य सगरण, बस क व ल ल प ड यल ध वण र च र घ म कर क म श! क त घ म य त आह! ट ळ आल! म बईच य उन ह ळ य त ह व त ग न उच च रल ल व क य न हम च ऐ यल ममळत. चल प श खपण ऱ य सगरण, बस क व ल ल प ड यल ध वण र च रम न, म द न वर ख ळण र क टव र आणण स ईट वरच य उन ह तह

अधिक जानकारी

MarathI Course T & C 1.cdr

MarathI Course T & C 1.cdr थ मक तर' नयम व अट सह स ग ख व खक म गद क www.suhasjyotish.com य अ य स म य नयम- अट सदभ त आम य व ब-स ईट वर उपल ध असल ल इ ज भ षत ल अ धकत र व मसद सव क यदश अ य ब ब स ठ म नल ज ईल. नयम-अट सदभ तल मर ठ भ षत ल ह मजकर,

अधिक जानकारी

सदभ व फ ईल सदभ व फ इल - सदभ व क ह एक यसनम त नद न, उपच र व प नव स क आह. यसनम त सम ज नम ण कर य स ठ य क च थ पन ह १९८८ म य कर य

सदभ व फ ईल सदभ व फ इल - सदभ व क ह एक यसनम त नद न, उपच र व प नव स क आह. यसनम त सम ज नम ण कर य स ठ य क च थ पन ह १९८८ म य कर य http://drugsfreeindia.com/ सदभ व फ ईल सदभ व फ इल - सदभ व क ह एक यसनम त नद न, उपच र व प नव स क आह. यसनम त सम ज नम ण कर य स ठ य क च थ पन ह १९८८ म य कर य त आल. थ पन मन वक. अश क श ल य य अ य त झ ल. य च स बत

अधिक जानकारी

???? ??????? ?????

???? ??????? ????? ॐ ऐ ह क ल मन द व य वच च मन द व म मन द व स त मन द व - म गल आरत स तप ड नव सन मन म त च आरत ॐ नम भगवत मन म त नम मन द व म गर व स य सध द भ कल य ण क र णम वन द मन द व स व म मन व च छत द य नम 1 मन द व स त मन द व

अधिक जानकारी

.स व शवस /अ. श./२०१7-१8/अ धस चन.१/२०१7/१-अ, दन क : 31/10/२०१7. अ धस चन श णक वष २०१7-१8 म य आर य व न अ य स म क रत व श घ ण य अ पस य क व य स ठ श यव. अ पस

.स व शवस /अ. श./२०१7-१8/अ धस चन.१/२०१7/१-अ, दन क : 31/10/२०१7. अ धस चन श णक वष २०१7-१8 म य आर य व न अ य स म क रत व श घ ण य अ पस य क व य स ठ श यव. अ पस .स व शवस /अ. श./२०१7-१8/अ धस चन.१/२०१7/१-अ, दन क : 31/10/२०१7. अ धस चन श णक वष २०१7-१8 म य आर य व न अ य स म क रत व श घ ण य अ पस य क व य स ठ श यव. अ पस य क वक स वभ ग, मह र श सन य च म फ त आर य व न अ य स

अधिक जानकारी

क ष करण, अ क-2, दस बर 2016: व नक व ध स फलद र बग च लग य र ज न द र क म र ज खड़, प कज क म र कसव, अ मत क म वत एव ऐ. क. स ह स व म क

क ष करण, अ क-2, दस बर 2016: व नक व ध स फलद र बग च लग य र ज न द र क म र ज खड़, प कज क म र कसव, अ मत क म वत एव ऐ. क. स ह स व म क व नक व ध स फलद र बग च लग य र ज न द र क म र ज खड़, प कज क म र कसव, अ मत क म वत एव ऐ. क. स ह स व म क शव नन द र जस थ न क ष वश व वद य लय ब क न र फल प रक त क अन पम क त ह हम र र ष ट र म मन ष य क द नक ज वन म ध

अधिक जानकारी

UNIVERSITY OF DELHI

UNIVERSITY OF DELHI अन लग नक 1. प रय जन प रस त व क प रस त त श ध प रय जन ओ क लए स श धत दश नद श क) नय मत नय पर व वद य लय क क ई भ अध य पक कस भ र ष ट र य/अ तरर ष ट र य व प षण एज स स व प षण एज स क प र प क अन स र प रध न अन व षक

अधिक जानकारी

प थ व ल क क अन त प त क द र स व दनश ल स द श स ल स ट यल स इन स अल फ और ओम ग

प थ व ल क क अन त प त क द र स व दनश ल स द श स ल स ट यल स इन स अल फ और ओम ग प थ व ल क क अन त प त क द र स व दनश ल स द श स ल स ट यल स इन स अल फ और ओम ग प थ व क सभ न व स य, भगव न क ख श स स त त कर. अल फ और ओम ग, व श ल ट ल प थ क इ ज ल क ल खक ह प थ व ल क क अन त प त क द र स व दनश ल स

अधिक जानकारी

RTI Hindi

RTI Hindi स चन क अ धक र अ ध नयम, 2005 ब इर क स चन क अ धक र अ ध नयम, 2005 म द गई प रभ ष क अन स र एक ल कप र धकरण ह और यह अपन क यर श ल म प णर प रद शर त और जव बद ह क लए वचनबद ध ह ब इर क स गठन क व बस इट पर ''स चन क अ

अधिक जानकारी

Microsoft Word - sun-darkness-moon-blood-hindi.docx

Microsoft Word - sun-darkness-moon-blood-hindi.docx व ल य ह न, आ मक स य य श ज मस ह थ, क घ षण क स य क य त न च द क क श क थ न त रत कर दय वग क र य नकट आ गय थ परम र न प तक स क दन अपन आ म उड ल ड ल इसक प व ऐस घटन कभ नह ई थ ब त न स च परम भ क दन और परम र क र य आ

अधिक जानकारी

आच र स ह त

आच र स ह त आच र स ह त 2 Vesuvius / आच र स ह त 3 म ख य क र यक र अध क र कड न स द श न प तमत आण अन प लन च आमच वचनबधदत वर स ह त भर द त प र य सहक र न व स प वअस आच र स ह त क णत अपव द प वन, जगभर त ल आपल क णत र च लन मध क

अधिक जानकारी

Hindi Article on Surya Namaskar - Dr Syed Zafar Mahmood

Hindi Article on Surya Namaskar - Dr Syed Zafar Mahmood स यर नमस क र पर म म बई आद श अ तध र मर क भ दभ व और म लभ त न ग रक अ धक र क कट त ह ड. सय यद ज़फ़र महम द, अध यक ष, ज़क त फ उ ड शन ऑफ़ इ डय, ZakatIndia.org ब हन म म बई नगर नगम (ब एमस ) द व र यह आद श दय गय ह क इसक

अधिक जानकारी

स प ण न द स क त व व व य लय व र णस आच य थम ख ड व व व य लय प रसर व श स वभ ग वषयव र म रट स च SNO प ज करण स य व श थ न म पत न म ( ) स वग क वग वषय

स प ण न द स क त व व व य लय व र णस आच य थम ख ड व व व य लय प रसर व श स वभ ग वषयव र म रट स च SNO प ज करण स य व श थ न म पत न म ( ) स वग क वग वषय 1 70409078 प श न थ प ठ रम न थ प ठ सम य श लयज व द 85.20 2 70419397 आश त ष क म र म व क म र म सम य श लयज व द 79.75 3 70450135 आश ष क म र प ड य र ज श प ड य सम य श लयज व द 77.10 4 70408749 व वज त क म र झ अ

अधिक जानकारी

ई न वद फ म स सवड नगरप रषद, स सवड त. प र दर, ज. प ण वभ ग :- श सन वभ ग वषय :- नगरप रषद य वत न व वध क य म च ब नर, ल स, ब ड बन वण इ. ई न वद म क : 06/ श सन

ई न वद फ म स सवड नगरप रषद, स सवड त. प र दर, ज. प ण वभ ग :- श सन वभ ग वषय :- नगरप रषद य वत न व वध क य म च ब नर, ल स, ब ड बन वण इ. ई न वद म क : 06/ श सन ई न वद फ म स सवड नगरप रषद, स सवड त. प र दर, ज. प ण वभ ग :- श सन वभ ग वषय :- नगरप रषद य वत न व वध क य म च ब नर, ल स, ब ड बन वण इ. ई न वद म क : 06/ श सन वभ ग सन 2017 2018 -------------------------------------------------------------------------

अधिक जानकारी

चयन प र क रय (क) अभ यथ क चयन ल खत पर एव स त क र म उनक प रदशर न क आध र पर कय ज एग क वस ल खत पर एव स त क र क कट-ऑफ क फ सल करन क अ धक र स र त रखत ह उपय र

चयन प र क रय (क) अभ यथ क चयन ल खत पर एव स त क र म उनक प रदशर न क आध र पर कय ज एग क वस ल खत पर एव स त क र क कट-ऑफ क फ सल करन क अ धक र स र त रखत ह उपय र चयन प र क रय (क) अभ यथ क चयन ल खत पर एव स त क र म उनक प रदशर न क आध र पर कय ज एग क वस ल खत पर एव स त क र क कट-ऑफ क फ सल करन क अ धक र स र त रखत ह उपय र क त पद एव स त क र ह त अभ य थर य क प त रत स थ त क चयन

अधिक जानकारी

Microsoft Word - ईशावाश्योपनिषद-M

Microsoft Word - ईशावाश्योपनिषद-M ईश व य उप नषद - ईश व य उप नषद 1 ॐ ईश व य मद सव य क च जग य जगत त न य न भ ज थ म ग ध क य व नम १ जग य म यत क च जगत इदम सव म ईश आव यम - अ खल ड म य ज क ह जड व च तन व प जगत आह त सव ई र न य आह - त न य न भ जथ म

अधिक जानकारी

प पर च चवड मह नगरप लक क प र शन इ ट ट ड ह थ ऍ ड फ मल व लफ अर स स यट २ र मजल, व कय म य क य लय, प पर च चवड मह नगरप लक, प पर - ४११ ०१८. ज हर त. ७८७ /२०१७.व /०९/क व/ १२७३ /२०१७ द. २०/ ०९ /२०१७. Walk - In -Interview

अधिक जानकारी

प पर च चवड मह नगरप लक क प र शन इ ट ट ड ह थ ऍ ड फ मल व लफ अर स स यट २ र मजल, व कय म य क य लय, प पर च चवड मह नगरप लक, प पर - ४११ ०१८. ज हर त. ७८७ /२०१७.

प पर च चवड मह नगरप लक क प र शन इ ट ट ड ह थ ऍ ड फ मल व लफ अर स स यट २ र मजल, व कय म य क य लय, प पर च चवड मह नगरप लक, प पर - ४११ ०१८. ज हर त. ७८७ /२०१७. प पर च चवड मह नगरप लक क प र शन इ ट ट ड ह थ ऍ ड फ मल व लफ अर स स यट २ र मजल, व कय म य क य लय, प पर च चवड मह नगरप लक, प पर - ४११ ०१८. ज हर त. ७८७ /२०१७.व /०९/क व/ १२७३ /२०१७ द. २०/ ०९ /२०१७. Walk - In -Interview

अधिक जानकारी

Microsoft Word - अमृतमंथन_मराठी भाषा, संगणक व माहिती तंत्रज्ञान_ले० विनय मावळणकर_अंतर्नाद_110219

Microsoft Word - अमृतमंथन_मराठी भाषा, संगणक व माहिती तंत्रज्ञान_ले० विनय मावळणकर_अंतर्नाद_110219 ल ख --} http://wp.me/pzbjo-cy अम तम थन --} http://amrutmanthan.wordpress.com/ ( अ तन द म सक य फ व र २०११ य अ क त स झ ल ल ल ख) मर ठ भ ष, स गणक व म हत त न मर ठ च स गणक करण व म ण करण आ ण मर ठ स ठ व मर ठ त

अधिक जानकारी

Microsoft Word - stastical information 235-hindi

Microsoft Word - stastical information 235-hindi भ रत य स सद र ज य सभ न क स ब ध म स ख यक य स चन 235व सतर 23 अ ल, 2015 स 13 मई, 2015 तक इस क शन क अ गर ज स करण भ उपल ध ह सत यम व जयत भ रत य स सद र ज य सभ न क स ब ध म स ख यक य स चन 235व सतर 23 अ ल, 2015 स

अधिक जानकारी

5187_httpwwwopeneduopenlearnworks_cmid80414_ _ _mc

5187_httpwwwopeneduopenlearnworks_cmid80414_ _ _mc कह न स न न, ग त, र ल प ल और न टक Contents 3 अभ स व क त य 5 2 of 5 Thursday 31 March 2016 व द य र थ उस समय सबस अच छ ढ ग स स खत ह जब व स खन क अन भव स सक र य र प स ज ड ह त ह द सर क स थ परस पर स व द और अपन

अधिक जानकारी

क पन क यद २०१२ नव बदल, न य व ट, नव दश मकर द ल ल (ल खक ह इ ट य ट ऑफ क पन स क र टर ज य स थ य प चम वभ ग य म डळ य क यर क रण च सद य व म ज अ यक ष आह त. य ल

क पन क यद २०१२ नव बदल, न य व ट, नव दश मकर द ल ल (ल खक ह इ ट य ट ऑफ क पन स क र टर ज य स थ य प चम वभ ग य म डळ य क यर क रण च सद य व म ज अ यक ष आह त. य ल क पन क यद २०१२ नव बदल, न य व ट, नव दश मकर द ल ल (ल खक ह इ ट य ट ऑफ क पन स क र टर ज य स थ य प चम वभ ग य म डळ य क यर क रण च सद य व म ज अ यक ष आह त. य ल ख त ल मत य च वत च आह त. य च स थ श स ब ध न ह.) ल कसभ

अधिक जानकारी

ब ह र झ रख ड शहर एवम ग र म ण ब वक श स स थ न ब ह र झ रख ड शहर एवम ग र म ण ब वक श स स थ न (म नव स स धन व वक स म त र लय द व र स च ल लत) र जग र स चन स ओ.प

ब ह र झ रख ड शहर एवम ग र म ण ब वक श स स थ न ब ह र झ रख ड शहर एवम ग र म ण ब वक श स स थ न (म नव स स धन व वक स म त र लय द व र स च ल लत) र जग र स चन स ओ.प (म नव स स धन व वक स म त र लय द व र स च ल लत) र जग र स चन स ओ.प.आर-5/687/2019 (व ह र झ रख ड शहर एव ग र म ण व वक श स स थ न म ब ल क पर रय जन अध धक र, सह यक ब ल क पर रय जन अध धक र, मल ट ट स क स क ग क लक1 एव

अधिक जानकारी

. 1 अव ध ब म प लस म आपद एव ज खम क कस क र व य त कय ज त ह? आपद च क सक य घटक ह ज म य क ज खम क भ वद करत ह, तथ ज खम व ज वन श ल ग त व धय ह ज मरन क ज खम क भ

. 1 अव ध ब म प लस म आपद एव ज खम क कस क र व य त कय ज त ह? आपद च क सक य घटक ह ज म य क ज खम क भ वद करत ह, तथ ज खम व ज वन श ल ग त व धय ह ज मरन क ज खम क भ . 1 अव ध ब म प लस म आपद एव ज खम क कस क र व य त कय ज त ह? आपद च क सक य घटक ह ज म य क ज खम क भ वद करत ह, तथ ज खम व ज वन श ल ग त व धय ह ज मरन क ज खम क भ वत करत ह! आपद यह खतर ह क प लस भरक क व श त थ स पहल म

अधिक जानकारी

य.एस. र हव स नसल ल य नव न न कर वर ठ वण य स ठ न न-न टवक डर र हव श स ठ प र श ण ह डब क आवश यक आह

य.एस. र हव स नसल ल य नव न न कर वर ठ वण य स ठ न न-न टवक डर र हव श स ठ प र श ण ह डब क आवश यक आह य.एस. र हव स नसल ल य नव न न कर वर ठ वण य स ठ न न-न टवक डर र हव श स ठ प र श ण ह डब क आवश यक आह ह ह डब क नव न न न-न टवक डर सहकमर च र य न (क पन च ईम ल पत त नसल ल आ ण/ क व क म प य टरवर अ क स स नसल ल सहकमर

अधिक जानकारी

ज ग ह! न टब द य ब ग य पल कड उज ड न ह. अ लगढ य र झय च ४ डस बरल नधन झ ल. 'ज य ५०० पय य न ट बदल न शक य न ३ दवस प स न म य म ल च ह ण र उप सम र सहन न झ य म

ज ग ह! न टब द य ब ग य पल कड उज ड न ह. अ लगढ य र झय च ४ डस बरल नधन झ ल. 'ज य ५०० पय य न ट बदल न शक य न ३ दवस प स न म य म ल च ह ण र उप सम र सहन न झ य म ज ग ह! न टब द य ब ग य पल कड उज ड न ह. अ लगढ य र झय च ४ डस बरल नधन झ ल. 'ज य ५०० पय य न ट बदल न शक य न ३ दवस प स न म य म ल च ह ण र उप सम र सहन न झ य म ळ म वत ल ज ळ न घ तल ' अस २० न हबर य र ज ह ण लय त द

अधिक जानकारी

यह प र स रल ज आज अथ र त 12 ज ल ई, 2017 स य 5.30 बज तक प रक शत, प रस रत अथव इ टरन ट पर प रच लत नह क ज एग भ रत सरक र स ख यकक और क यर क रम क य र न वथयन म

यह प र स रल ज आज अथ र त 12 ज ल ई, 2017 स य 5.30 बज तक प रक शत, प रस रत अथव इ टरन ट पर प रच लत नह क ज एग भ रत सरक र स ख यकक और क यर क रम क य र न वथयन म भ रत सरक र स ख यकक और क यर क रम क य र न वथयन म त र लय क न द र य स ख यकक क य र लय नई दल ल र, दन क: 12 ज ल ई, 2017 प र स रल ज मई, 2017 म ह क लए औद य गक उत प दन स चक क तथ उपय ग-आध रत स चक क क त वर रत अन म

अधिक जानकारी

MedicalDiary.xls

MedicalDiary.xls म नन य सद य क ज र च क स ड यर.स. सद य क न म ड यर म क प स न. ट पण 1 क शल कश र ज न 1 क 14 2 प नम ग यल 2 प 2 3 स रज द व 3 एस 18 4 त जप ल य दव 4 ट 2 5 र म व प म ण 5 आर 4 6 जयर म ज टव 6 ज 3 7 ह र ल ल म ण 7 एच

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Civic Reception - Jaipur - 13th May _1_.docx

Microsoft Word - Civic Reception - Jaipur - 13th May _1_.docx भ रत क र प त र म न थ क व द क न ग रक अ भन दन सम र ह म स ब धन जयप र, 13 मई, 2018 आण ब न श न र र ज थ न क धर पर आर, आज ह न घण ख श ह र ह 1. र ज थ न क न ह ल ग अपन अ त थ-स क र क लए हम श सर ह ज त ह आप सभ न ग रक

अधिक जानकारी

Tipiṭaka - Abhidhamma Piṭaka

Tipiṭaka - Abhidhamma Piṭaka Page 1 sur 306 नम त स भगवत अरहत स म स ब स अ भध म पटक वभ प ळ १. ख ध वभ १. स तभ जन य १. प च ख ध प ख ध, व दन ख ध, स ञ ख ध, स र ख ध, व ञ ण ख ध १. प ख ध २. त थ कतम प ख ध? य क च प अत त न गतप च प न अ झ व ब ह

अधिक जानकारी

5167_httpwwwopeneduopenlearnworks_cmid80264_ _ _gw

5167_httpwwwopeneduopenlearnworks_cmid80264_ _ _gw स खन -स ख न क प रक र य क पर वर तन: आपक व द य लय म प र ध य ग क क इस त म ल क न त त व करन Copyright 200X, 200Y The Open University Contents यह इक ई क स ब र म ह 3 व द य लय न त इस इक ई म क य स ख ग 3 1 क न स

अधिक जानकारी

नम न क त पतर क -2 दसव कक : प रथम भ ष ह द क म रभ रत समय 3 घ ट क ल अ क 100 स चन ए - (1) स वच छ ए व श द ध ल खन क र य अप क ष त ह (2) स चन क अन स र गद य, प

नम न क त पतर क -2 दसव कक : प रथम भ ष ह द क म रभ रत समय 3 घ ट क ल अ क 100 स चन ए - (1) स वच छ ए व श द ध ल खन क र य अप क ष त ह (2) स चन क अन स र गद य, प नम न क त पतर क -2 दसव कक : प रथम भ ष ह द क म रभ रत समय 3 घ ट क ल अ क 100 स चन ए - (1) स वच छ ए व श द ध ल खन क र य अप क ष त ह (2) स चन क अन स र गद य, पद र, भ ष अधररन (वर करण) क आकलन क क तर क उततर आ वशरकत

अधिक जानकारी

Microsoft Word - statistical_information_227th Session_2012_hindi[1].doc

Microsoft Word - statistical_information_227th  Session_2012_hindi[1].doc भ रत य स सद र ज य सभ सत यम व जयत न क स ब ध म स ख यक य स चन र ज य सभ क द स स ईसव सतर (22 नव बर, 2012 स 20 दस बर, 2012 तक) र ज य सभ स चव लय, नई द ल 2013 भ रत य स सद र ज य सभ सत यम व जयत क स ब ध म स ख यक

अधिक जानकारी

ल कश ह स ठ स घषर य त र न म स यक वद र ह व ल क यत द व र प रक शत वश ष आव द श वर फ सझमच स कट प रक शक व म द रक: स यक वद र ह प रक शन १०७४, ब -५, आन द प र स

ल कश ह स ठ स घषर य त र न म स यक वद र ह व ल क यत द व र प रक शत वश ष आव द श वर फ सझमच स कट प रक शक व म द रक: स यक वद र ह प रक शन १०७४, ब -५, आन द प र स ल कश ह स ठ स घषर य त र न म स यक वद र ह व ल क यत द व र प रक शत वश ष आव द श वर फ सझमच स कट प रक शक व म द रक: स यक वद र ह प रक शन १०७४, ब -५, आन द प र स द अप टर म ट, स व डर, र वव र प ठ, क ह प र ४१६०१२. स

अधिक जानकारी

Microsoft Word - GEETA KA BHAGWAN

Microsoft Word - GEETA KA BHAGWAN ग त क नर क र भगव न शव-श कर भ ल न थ य स क र क ण क आ म उफ द द ल खर ज? भ रत य क लए ढ ई हज़ र स ल स ज वन क हर म म ग दश क क क य करन व ल ग त सव श शर म ण ह, इस ब त म क ई स द ह नह ह, क त भ रत क इ तह स म इस ग त

अधिक जानकारी

स यर आच र स हत

स यर आच र स हत स यर आच र स हत सप ल यर आच र स हत 1. र जग र स वत तर त प वर क च न ज त ह 1.1 ब ध आ, तस कर, अथव क र व स शर म स हत, कस भ पर क र क बलप वर क य अ नव यर शर म नह कर य ज त ह 1.2 शर मक क अपन नय क त क प स जम नत र शय

अधिक जानकारी

पोपची गुपित

पोपची गुपित आय आर एस, एफ ब आय, अम र क त ल ल बर ड प र टम ट (क मग र ह वभ ग), म द फ आण क मग र स घटन ह व ह ट कनच भ ग आह त क? प प स वव सरक र स सथ च तस च व ह ट कनच स व व त वटरष ठ अध क र आह क? प पच ग प त व ह ट कन स वत:ल

अधिक जानकारी

Microsoft Word - मराठी+एकजूट_ महाराष्ट्र राज्याच्या सांस्कृतिक धोरणाच्या मसुद्यासंबंधी सूचनांसाठी आवाहन_180210

Microsoft Word - मराठी+एकजूट_ महाराष्ट्र राज्याच्या सांस्कृतिक धोरणाच्या मसुद्यासंबंधी सूचनांसाठी आवाहन_180210 मह र र य य स क तक ध रण य मस स ब ध स चन स ठ आव हन य मर ठ ब धव न, स म नम क र. दन क: १६ फ व र २०१० मर ठ भ ष, मर ठ स क त, मर ठ त ल स ह य व एक दर तच मर ठ म णस य प ढ ल व वध आ ह न य वषय ० सल ल क ळकण य च एकच अम

अधिक जानकारी

स एमएस प रय ग द व र द ष ट एक द लर भ क षय स एमएस प रय ग, सनर 19 ज ल ई 2013 स एमएस (CMS) न कण भ त त क क म नक म डल (Standard Model) द व र प र व रन म नत ए

स एमएस प रय ग द व र द ष ट एक द लर भ क षय स एमएस प रय ग, सनर 19 ज ल ई 2013 स एमएस (CMS) न कण भ त त क क म नक म डल (Standard Model) द व र प र व रन म नत ए स एमएस प रय ग द व र द ष ट एक द लर भ क षय स एमएस प रय ग, सनर 19 ज ल ई 2013 स एमएस (CMS) न कण भ त त क क म नक म डल (Standard Model) द व र प र व रन म नत एक बह त ह दल र भ क षय द ख ह Bs (उच च रत ब -सब-एस) म

अधिक जानकारी

एक अव ध य जन म द घ टन र इडर क अ धकतम मयम कतन ह सकत ह? ब नय द मयम क १००% ब नय द मयम क ५०% ब नय द मयम क ३०% ब नय द मयम क ३५% Question was not ans

एक अव ध य जन म द घ टन र इडर क अ धकतम मयम कतन ह सकत ह? ब नय द मयम क १००% ब नय द मयम क ५०% ब नय द मयम क ३०% ब नय द मयम क ३५% Question was not ans .101 - एक अव ध य जन म द घ टन र इडर क अ धकतम मयम कतन ह सकत ह? ब नय द मयम क १००% ब नय द मयम क ५०% ब नय द मयम क ३०% ब नय द मयम क ३५%.102 - तप त क स द त क स दर भ म एक ज वन ब म प लस ह? ब म अन ब ध तप त अन ब

अधिक जानकारी

book-samaajvaadi-vivekanand-v11-16jun15

book-samaajvaadi-vivekanand-v11-16jun15 त वन सम जव द वव क न द ह श ष क व च न त ह आ य च कत झ ल अस ल. ह द वव य ख ट य च र म ळ वव क न द च खर वच र ल क पय त कध प ह चल च न ह त. य च तम एक ह द वव द स य स हण न ल क य क ल ग ल. व म वव क न द स र य मह प ष न

अधिक जानकारी

अपन स सद स म ल ट लक ट व व ह सम नत क ज तन क ल ए आपक कह न म यन रखत ह इसस अध क सशक त और क छ भ नह ह! स सद म एक मत क म ध यम स व व ह सम नत क प र त करन क ज म

अपन स सद स म ल ट लक ट व व ह सम नत क ज तन क ल ए आपक कह न म यन रखत ह इसस अध क सशक त और क छ भ नह ह! स सद म एक मत क म ध यम स व व ह सम नत क प र त करन क ज म अपन स सद स म ल ट लक ट व व ह सम नत क ज तन क ल ए आपक कह न म यन रखत ह इसस अध क सशक त और क छ भ नह ह! स सद म एक मत क म ध यम स व व ह सम नत क प र त करन क ज म द र हम र न र व च त अध क र य क ह ल क न यह हम पर न र

अधिक जानकारी

नव न शहर क र यस च नव न शहर क र यस च 1

नव न शहर क र यस च नव न शहर क र यस च 1 नव न शहर क र यस च 1 2 3 4 नव न शहर क र यस च 5 6 श श वत शहर आण सर व म नव वस हत व षय क व ट घ षण पत र 1. आम ह र ज य आण सरक रच प रम ख, म त र आण उच च प रत न ध, स य क त र ष ट र च य आव स आण श श वत शहर व क स

अधिक जानकारी

Microsoft Word - 8 lohar singh brahmane _29-35_

Microsoft Word - 8 lohar singh brahmane _29-35_ ब र ल ब ल क ल कग त क वव चन ड. ल ह र स ह मण भ ष अ ययन श ल द व अ ह य व व व य लय इ द र, म य द श, भ रत श ध स प ब र ल ल कस ह य क भ ड र म ल कग त क स य अन गनत ह ल कग त ल क स क त क सम स व हक ह ल कग त कस ज त, सम

अधिक जानकारी

Microsoft Word - samakalin gazal_second issue_final

Microsoft Word - samakalin gazal_second issue_final समक ल न गझल अ क द सर, प वस ळ २०१७ स प दक अन त ढवळ * सम र च ह ण * वजय दनकर प ट ल समक ल न गझल अ क द सर, प वस ळ २०१७ स प दक अन त ढवळ * सम र च ह ण * वजय दनकर प ट ल समक ल न गझल मर ठ अ नयतक लक स प णर त: अ य

अधिक जानकारी

औद य ग क स भ वन सवव क षण, ल ख औद य ग क स भ र न सर व क षण, * यह आल ख इस श खल क प चर आल ख ह, ज सम र ष ण म र ज र ण ब क क औदय धग स

औद य ग क स भ वन सवव क षण, ल ख औद य ग क स भ र न सर व क षण, * यह आल ख इस श खल क प चर आल ख ह, ज सम र ष ण म र ज र ण ब क क औदय धग स औद य ग क स भ र न सर व क षण, 2016-17* यह आ इस श खल क प चर आ ह, ज सम र ष ण 2016-17 म र ज र ण ब क क औदय धग स भ र न सर व (आईओएस) क त म स क द र म प ए गए पर ण म क म खय वर श षत ओ क प रसत त क य गय ह यह वर तनम

अधिक जानकारी

इ द र त न र भय वर भ वर च य र ढ पर पर य त अडकल ल य र रत य सम ज मध य इ ग रज सरक रच य क ळ प स म ठ य प रम ण त ब ड स र झ ल. ज म स च य द ष ट ह जस ब ल च म ठ

इ द र त न र भय वर भ वर च य र ढ पर पर य त अडकल ल य र रत य सम ज मध य इ ग रज सरक रच य क ळ प स म ठ य प रम ण त ब ड स र झ ल. ज म स च य द ष ट ह जस ब ल च म ठ इ द र त न र भय वर भ वर च य र ढ पर पर य त अडकल ल य र रत य सम ज मध य इ ग रज सरक रच य क ळ प स म ठ य प रम ण त ब ड स र झ ल. ज म स च य द ष ट ह जस ब ल च म ठ टप प ह त, त वढ च स त र स ध रण च य द ष ट ख ल फ र महत

अधिक जानकारी

VISION STUDY Maharashtra s largest elearning platform आय ग च य पर क च खर ख र अन भव घ ण य स ठ, लग च भ ट द य आण e-classroom ल join

VISION STUDY Maharashtra s largest elearning platform आय ग च य पर क च खर ख र अन भव घ ण य स ठ,   लग च भ ट द य आण e-classroom ल join आर थणक सव क 2018-2019 भ रत च आर थणक सव क 2018-2019 (णवण य वर ण) भ रत च प रम ख आर थणक सल ल ग र क ष म त स ब रमण यम य च य द व र स दर करण य त आल. य वर च आर थणक सव क ह णनळ य र ग त आह. क र य वर च आर थणक सव क

अधिक जानकारी

अम तव ण रच यत - श स व म सतय न द ज मह र ज Shree Ram Sharnam, International Spiritual Centre, 8A, Ring Road, Lajpat Nagar - IV, New Delhi , IND

अम तव ण रच यत - श स व म सतय न द ज मह र ज Shree Ram Sharnam, International Spiritual Centre, 8A, Ring Road, Lajpat Nagar - IV, New Delhi , IND www.shreeramsharnam.org email : shreeramsharnam@hotmail.com 1 प रक शक श स व म सतय न द धम र थर ट रस ट श र मशरणम, 8 ए, र ग र ड ल जपत नगर - 4, नई दल ल 110024 ई 2008 सम वत 2065 सव र धक र स र त न. एल 14177/94

अधिक जानकारी

Microsoft Word - htu3..62.docx

Microsoft Word - htu3..62.docx भ रत सरक र म नव स स धन वक स म त र लय क ल शक ष और स क षरत वभ ग ल क सभ त र कत प र न स ख य 62 उ तर द न क त र ख 21.11.2016 व य लय म म लभ त अवस रचन *62. मत क थ प ल ग त क य म नव स स धन वक स म त र यह बत न क क

अधिक जानकारी

च न द आ थर क समय खल क म सक म सम क रक, ल ख च न द आ थर क समय खल क म सक म सम क रक, * इस ल ख म क लए प च य पक क ष त र ( ज स - म द रक

च न द आ थर क समय खल क म सक म सम क रक, ल ख च न द आ थर क समय खल क म सक म सम क रक, * इस ल ख म क लए प च य पक क ष त र ( ज स - म द रक च न द आ थर क समय खल क म सक म सम क रक, 2015-16* इस म 2015-16 क लए प च य पक क ष त र ( ज स - म द रक और ब क ग क क ल र शय, म य, औ य गक उ प दन, ब य य प र तथ स व क ष त र) क च न द 84 आ थर क/ व त य समय खल क म सक

अधिक जानकारी

क पन अ ध नयम, 2013 क अन सरण म न ग मक स म जक उ तरद य व न त 1. प रचय 1.1 न ग मक स म जक उ तरद य व क त पय व भ न स यवह र ग त व धय पर य न द त ह ए म ख ट कध र

क पन अ ध नयम, 2013 क अन सरण म न ग मक स म जक उ तरद य व न त 1. प रचय 1.1 न ग मक स म जक उ तरद य व क त पय व भ न स यवह र ग त व धय पर य न द त ह ए म ख ट कध र क पन अ ध नयम, 2013 क अन सरण म न ग मक स म जक उ तरद य व न त 1. प रचय 1.1 न ग मक स म जक उ तरद य व क त पय व भ न स यवह र ग त व धय पर य न द त ह ए म ख ट कध रक क अप ओ व आव यकत ओ क य न म रखत ह ए स म जक उ तरद य

अधिक जानकारी

देश देशांतर : गवाह की परवाह

देश देशांतर : गवाह की परवाह द श द श तर : गव ह क परव ह drishtiias.com/hindi/printpdf/witness-protection स दभ एव प ठभ म बड़ और स व दनश ल म मल म गव ह क स र क ल कर द यर एक जन हत य चक पर स नव ई करत ह ए उ चतम य य लय न 5 दस बर क क द सरक

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Passion_Reading_in_Hindi_Mark

Microsoft Word - Passion_Reading_in_Hindi_Mark Passion Reading in Hindi भ य स क द खभ ग (म रक स 14 & 15) C: Commentator : esus CR: Crowd : an W: Woman C स त म रक स क अन स र भ य स त क द खभ ग C प क तथ ब ख़म र र ट क पव म द दन रह गय थ मह य जक और श य स क

अधिक जानकारी

Microsoft Word - zp bnd Advt Revised Non PESA 1Mar2019

Microsoft Word - zp bnd Advt Revised Non PESA 1Mar2019 अन स चत ब ह र ल ( बगर प स ) नम न ज हर त ज ह प रषद भ ड र ज ह प रषद, भ ड र अ तग त गट-क मध ल सरळस व च र त भर य स ठ च ज हर त ज हर त म क:- 01/2019 दन क :- 02/03/2019 ------------------------------ मह र श सन

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Press Note 6 Jan. 17

Microsoft Word - Press Note 6 Jan. 17 1 यह प र स रल ज आज अथ र त 6 जनवर, 2017 अपर न 5.30 तक प रक शत, प रस रत अथव इ टरन ट पर प रच लत नह क ज एग र ट र य आय 2016-17 क प रथम अ ग रम अन म न पर प र स न ट क द र य स ख यक क य र लय स ख यक और क यर क रम

अधिक जानकारी

Microsoft Word - Document1

Microsoft Word - Document1 क ळश प स न व ज न मर त क द र त ट ट य क द र ल प र क र द श त प ह य द च झ ल पय र वरण नकष वर प रक षण क ळश प स न व ज न मर त करण र य क द र च व वध पय र वरण य नकष वर न कत च अ य स कर य त आल. स टर फ र स य स ऍ ड ए

अधिक जानकारी

5/31/2018 Girnar Parvat Darshan Yatra with EziiTours गरन र दशन य (०४ दवस / ०३ र ) गरन र, ग द त य य च अ य नव स थ न. ईझ ट स आप य ल एक च ग य म गदशक स घ स

5/31/2018 Girnar Parvat Darshan Yatra with EziiTours गरन र दशन य (०४ दवस / ०३ र ) गरन र, ग द त य य च अ य नव स थ न. ईझ ट स आप य ल एक च ग य म गदशक स घ स गरन र दशन य (०४ दवस / ०३ र ) गरन र, ग द त य य च अ य नव स थ न. ईझ ट स आप य ल एक च ग य म गदशक स घ सह १०००० प वल गरन र ट कड वर न त आ ण गरन र दशन य च एक आ चयक रक अन भव आणत. गरन र (तस च " गरन र हल" हण न ओळखल

अधिक जानकारी

Microsoft Word - a

Microsoft Word - a बह र वध न प रषद 188व स अ पस चत न वग 2 म गलव र, त थ 15 फ ग न, 1939 (श.) 06 म च, 2018 ई. न क क ल स य 11 1. व य वभ ग 2. ऊज वभ ग - - - 09-02 क ल य ग 11 1 नय ण स न त 38.. नवल कश र य दव : य म, व य वभ ग, यह बतल

अधिक जानकारी

श र परश र म प रसन न च त प वन म डक क लन य स प रस क त प ण चनव स म डक आय च त च त प वन म डक क ल सम म लन २०१६. प ण वळ ल चनसर ग फ मग अ ड व टर प कग, स प ल य

श र परश र म प रसन न च त प वन म डक क लन य स प रस क त प ण चनव स म डक आय च त च त प वन म डक क ल सम म लन २०१६. प ण वळ ल चनसर ग फ मग अ ड व टर प कग, स प ल य श र परश र म प रसन न च त प वन म डक क लन य स प रस क त प ण चनव स म डक आय च त च त प वन म डक क ल सम म लन २०१६. प ण वळ ल चनसर ग फ मग अ ड व टर प कग, स प ल य चनसर गरम य पररसर त द न क १४ आचण १५ म २०१६ र स पन न

अधिक जानकारी

untitled

untitled Centromat Hermann Rosorius (हरमन र स र य स) Ingenieurbüro GmbH (इ ज न य ब ह ग एम ब ह ) व श ष औज र प इपल इन न र म ण क ल ए, स य त र अभ य त र क और क ट नर न र म ण www.centromat.de प रक र 1क ब हर एल इनम ट क

अधिक जानकारी