कम-स -कम य ज य द -स -ज य द व व क म हत कह ज त ह क एक ग रत स ब क द खकर न य टन क ग र त व कषरण क सद ध त नक लन क प र रण मल थ अग र य ब त सच ह त ह सकत ह क ऊप

कम-स -कम य ज य द -स -ज य द व व क म हत कह ज त ह क एक ग रत स ब क द खकर न य टन क ग र त व कषरण क सद ध त नक लन क प र रण मल थ अग र य ब त सच ह त ह सकत ह क ऊपर क ओर उछ ल ग ई एक ग द य स ब क ग त क द खकर उन ह न यह ब त लख ह "क ई र श (quantity) जब सबस बड़ य छ ट ह त ह त व न आग क तरफ बह रह ह त ह न प छ क य क अग र व आग क तरफ बह रह ह ग य य कह क बढ़ रह ह ग त अपन व तरम न म न स और ज य द बड़ ह सकत ह और अग र प छ क तरफ बह रह ह ग य घट रह ह ग त अपन व तरम न म न स और कम " आईय न य टन क द व र लख ग य इस नयम क एक ऊपर उछ ल ह ई ग द क ग त क स दभर म समझन क क श श करत ह उसक ब द क छ अन य उद हरण म हम न य टन क इस नयम क इस त म ल कर इसक ऊपय ग त व स म ओ क ज च ग उछ ल ग ई एक ग द क ग त अग र एक ग द एक श र आत ऊ च ई स कस श र आत ग त स ऊपर क ओर उछ ल ज य त क छ द र तक ऊपर ज न क ब द न च क तरफ आन लग त ह 1 उद हरण क त र पर चत र 1 म दख य अन स र एक ग द श र आत ऊ च ई h o म टर क श र आत ऊ च ई स v o म टर प र त स क ड (m/s) क श र आत रफ़ त र स ऊछ ल ग ई ह अब यह सव ल बनत ह क न च आन श र करन स पहल ग द अ ध कतम कस ऊ च ई, h max म टर, तक ज य ग? अपन अन भव स हम ज नत ह क ग द क अ ध कतम ऊ च ई स ध त र पर h o व v o पर नभरर करत ह द अलग -अलग श र आत ऊ च ईय स सम न चत र 1: उछ ल ग ई श र आत रफ़ त र स उछ ल ग ई द ग द म स व ग द ज य द ऊपर ज य ग एक ग द क ग त जसक श र आत ऊ च ई ज य द ह इस तरह एक ह श र आत ऊ च ई स द अलग -अलग श र आत रफ़ त र स उछ ल ग ई ग द म स व ग द ज य द ऊपर ज य ग जसक श र आत 1 य तब जब ग द क रफ़ त र escape velocity स कम ह क य यह ऊ च ई ग द क mass पर नभरर कर ग?

रफ़ त र ज य द ह ल कन यह सव ल ऐस द य च र त स थ तय म ग द क द व र ह सल क ग ई अ ध कतम ऊ च ई क त लन क नह ह यह सव ल ह क अग र ग द क श र आत ऊ च ई h o व श र आत रफ़ त र v o ह त ग द क अ ध कतम ऊ च ई क य ह ग? च क यह ब तअ ध कतम ऊ च ई क ह रह ह त हम न य टन क उस कथन क र ख करत ह जसम व कस र श क सबस बड़ (य छ ट ) ह न क ब त कह रह ह न य टन लखत ह क "जब क ई र श सबस बड़ ह त ह त व न आग क तरफ बह रह ह त ह न प छ " इस उद हरण म हम जस र श क अ ध कतम म न क ब त कर रह ह व ह ग द क ऊ च ई h अग र हम ग द क ऊपर क ओर ज न क आग और न च क ओर आन क प छ म न ल त इस स दभर म न य टन क कथन क म यन ह ए क जब ग द अपन अ ध कतम ऊ च ई पर ह ग त व न ऊपर क तरफ बढ़ रह ह ग न न च क ओर जसक मतलब ह आ क ठ क उस क षण जब ग द अपन अ ध कतम ऊ च ई पर ह ग त व र क ह ई ह ग य न क उसक रफ़ त र श न य ह ग इस ब त क हम एक ग र फ़ क मदद स भ समझ सकत ह ग त क नयम स हम ज नत ह क समय क कस भ म न t क लय ग द क ऊ च ई ह ग ; h=h 0 +v o t+ 1 at (E-1) ग द पर लग त र ग र त व कषरण क बल लग रह ह ज क उस न च ग र उ ड क तरफ ख च रह ह जस व जह स त व रण a= g= 9.81m/ s ह ग अग र हम h 0 =1 m व v 0 =5 m/s ल कर सम करण (E-1) क लय ऊ च ई-समय ग र फ़ बन य त व चत र क तरह ह ग चत र : h 0 =1 m व v 0 =5 m/s क लय ऊ च ई -समय ग र फ हम ग र फ म द ख सकत ह क समय बढ़न क स थ-स थ कस तरह ग द पहल ऊपर क ओर ज त ह और फर t=0.5097 s पर अपन अ ध कतम ऊ च ई h max =.74 m ह सल करन क ब द न च क ओर ग रन लग त ह अब न य टन स हब क कह म त बक ग द क रफ़ त र अ ध कतम ऊ च ई पर श न य ह न च हय एक द र -समय ग र फ पर ख च ग ई एक स पश र-र ख क ढ़ल न उस समय- व श ष क लय व स त क रफ़ त र क दश रत ह क य आप चत र म दखल य ग य ग र फ पर व ब द ढ़ ढ़ सकत ह जस पर ख च ग ई

स पश र-र ख क ढ़ल न श न य ह? आप द ख ग क t=0.5097 s क लय ग र फ पर ज ब द ह, य न क अ ध कतम ऊ च ई व ल ब द, उस पर ख च ग ई स पश र र ख XX ' क ढ़ल न श न य ह क य क यह समय- अक ष क सम न तर ह बन ग र फ़ क मदद क भ हम एक स ज य द तर क स य समय नक ल सकत ह ग त क द सर नयम स हम ज नत ह क समय क कस भ म न t क लय ग द क रफ़ त र ह ग v=v 0 +at (E-) सम करण (E-1) स dh dt नक लन पर भ हम सम करण (E-) ह मलत सम करण (E-) क श न य क बर बर रखकर हम t क व म न नक ल सकत ह जब v=0 ह इस तरह मल t क म न क सम करण (E-1) म रखकर हम अ ध कतम ऊ च ई भ नक ल सकत ह करक द खय इस उद हरण म हमन द ख क क स न य टन क स झ य नयम क मदद स हमन एक श र आत ऊ च ई स कस श र आत ग त स ऊपर क ओर उछ ल एक ग द क द व र ह सल क ग ई अ ध कतम ऊ च ई नक ल ल त क य न य टन क यह नयम हम श क म कर ग? आईय एक ग ण तय उद हरण स समझन क क श श करत ह एक ग ण तय उद हरण म न ल जय क हम चर र श x म एक फलन f (x) f (x)= x7 7 x5 + 4 x3 +1 (E-3) 3 पत ह और हम ज नन च हत ह क इस फलन क अ ध कतम म न क य ह ग? न य टन क नयम क म त बक जस कस ब द पर यह फलन अपन अ ध कतम पर ह ग, उस जग ह यह न आग क बह रह ह ग न प छ क ओर ग द क म मल म त हमन बहन क मतलब उसक रफ़ त र स ल लय थ ग द क रफ़ त र यह दश रत ह क क स उसक ऊ च ई समय क स थ बदलत ह हम ज फलन f (x) मल ह आ ह व क व ल एक चर र श x पर नभरर करत ह x क बदलन क स थ-स थ फलन क म न भ बदलत ह ; ठ क व स ह ज स समय क बदलन क स थ-स थ ग द क ऊ च ई ग द क म मल म हम यह सव ल प छ रह थ क उसक द व र ह सल क ग ई अ ध कतम ऊ च ई क य ह और व कस समय पर उस ऊ च ई तक पह चत ह व ह इस ग ण तय फलन क म मल म हम यह प छ रह ह क फलन क

अ ध कतम म न क य ह ग व चर र श x क कस म न पर ऐस ह ग इस लय इस फलन क म मल म बहन क मतलब चर र श x क बदलन क स थ फलन f (x) म ह रह बदल व स ह ज क स दश रय ज त ह 3 त अब म मल स ध लग त ह हम फट फट सम करण (E-3) स नक ल ल त ह और फर उस श न य क बर बर रखकर चरर श x क लय हल कर ल ग यह व x ह ग जह फलन अपन अ ध कतम पर ह ग पर क य म मल सचम च इतन स ध ह? आईय पड़त ल करत ह सबस पहल त सम करण (E-3) स नक ल ल त ह ज क श न य क बर बर रखन पर ज सम करण हम मल ग व ह ग ; = x6 5 x 4 +4 x ह ग अब इस x 6 5 x 4 +4 x = x (x 4 5 x +4)=0 (E-4) इस सम करण क छ: अलग -अलग हल 4 मल ग ; x=, x= 1, x=0,x=0, x=1, x= आईय यह भ द ख ल क चरर श x क इन म न क लय फलन f (x) क म न क य ह स थ ह हम चरर श x क ऐस द अन य म न पर भ फलन f (x) क म न नक लकर द खत ह जह श न य नह ह, ज स क x=.4 व x=.4 त लक 1 म यह ज नक र दश रई ग ई ह x -.4 - -1 0 1.4 f ( x) -3.368 4.0476 0.538 1.0000 1.476 -.0476 5.368 68.04 0 0 0 0 0 68.04 त लक 1:चर र श x क अलग -अलग म न क लय f (x ) व त लक 1 क छ ब त ख स त र पर ग र करन व ल ह : 1. एक स ज य द ब द ओ पर श न य क बर बर ह त क य फलन f (x) इन सभ ब द ओ पर अ ध कतम ह ग? अग र हम न य टन क नयम क द ख त प य ग क इसक म त बक न क व ल र श क अ ध कतम म न पर ब त ल क न य नतम म न पर भ श न य क बर बर ह ग त क य इस म मल म 3 इस ऐस भ द ख-समझ सकत ह क सम करण (E-1) भ त चर-र श t म एक फलन ह ह 4 इस सम करण क हल करन आस न ह द हल त स फ दख ई द रह ह ज क x=0 क दश रत ह ब क च र हल क लय x 4 5 x +4=0 म x = y रखकर इस चर र श y म एक द वघ त सम करण म बदल ज सकत ह उस नय सम करण क y क लय हल कर x क च र म न नक ल ज सकत ह

x क क छ म न न य नतम ब द क भ दश र रह ह? अग र ऐस ह त क स पत कय ज ए क कस ब द पर फलन अ ध कतम और कस पर न य नतम ह ग? स थ ह यह सव ल भ उठत ह क एक स अ ध क म न पर क ई र श क स अ ध कतम य न य नतम ह सकत ह?. चर र श x क जन म न क लय श न य ह उनम f (x) क सबस बड़ x= पर ह ल कन अन य आ कड़ क म क बल यह स ख य अ ध कतम नह ह जस आ कड़ क लए f (x) सबस बड़ ह व ह x=.4 क लय ल कन x=.4 पर श न य नह ह यह ब त फलन क न य नतम ब द पर भ ल ग ह त ह य क य म जर ह? इन सव ल क जव ब तल श न क लय हम एक ब र फर ग र फ क मदद ल त ह चत र 3 म ग ण तय फलन f (x)= x7 7 x5 + 4 x3 +1 क लय एक ग र फ दखल य 3 ग य ह त लक 1 म दय ग य सभ आ कड़ क इस ग र फ म दश रय ग य ह हमन पहल ज ग णन य क ह उसक म त बक x=, x= 1, x=0, x=1, x= क लय श न य क बर बर ह ग र फ क स दभर म इसक म यन ह ए क x क इन म न क समकक ष ग र फ पर ख च ग ई स पश र-र ख क ढ़ल न श न य ह न च हय आप द ख सकत ह क ब द A,B,C, D व E पर स पश र- र ख x -अक ष क सम न तर ह, ज दश रत ह क x क इन म न क समकक ष =0 ह व ह ब द X 1 व X ज क रमश : x=.4 व x=.4 क समकक ष ह, उन पर ख च ज न व ल स पश र-र ख x ह त लक 1 स भ य ज़ हर ह चत र 3: चर र श x क स थ फलन f (x) म ह त बदल व क दश रत एक ग र फ -अक ष क सम न तर नह ह ग इस लय इन ब द ओ पर ढ़ल न श न य नह अब आत ह अपन श र आत सव ल पर क फलन f (x) क अ ध कतम म न क य ह ग? अग र ग र फ पर नज़र ड ल त दख ई द त ह क ग र फ म कई जग ह पर उत र-चढ़ व ह अग र हम फलन f (x) क म न ब द A क समकक ष चर र श x क म न (य न क x=.0 ) स कम म न क लय नक ल ग त प य ग क ज स -ज स x क म न कम ह त ज त ह, फलन क म न भ कम ह त ज त ह जसक मतलब ह आ क ब द A क ब य तरफ ग र फ लग त र न च क तरफ ग रत चल ज य ग, कभ भ ऊपर क र ख नह कर ग ठ क इस तरह अग र हम फलन f (x) क म न ब द E क समकक ष x=.0 क म न स ज य द क लय नक ल त प य ग क

x क बढ़न क स थ-स थ फलन f (x) क ग र फ लग त र ऊपर क तरफ चढ़त ह ज य ग, कभ न च क तरफ नह आय ग 5 अब अग र क ई फलन f (x) ड म न (इस स दभर म x -अक ष ) क कस हस स म लग त र बढ़ रह ह त कभ श न य ह न स रह इसक मतलब ह आ क ज स -ज स हम ब द E स आग बढ़त ज य ग हम फलन क बड़ स बड़ म न त मलत ज य ग ल कन कह भ न य टन क द व र स झ य ग य नयम सह नह ब ठ ग यह त स थ त तब ह ग जब हम फलन क न य नतम म न क तल श न नकल ग त क य न य टन इस म मल म ग लत स बत ह ग य? इतन जल द कस नष कषर पर पह चन स पहल जर ब द A,B,C, D व E पर ग र कर ल अग र हम ब द A व उसक एकदम कर ब (local neighbourhood) क क छ ब द ओ क द ख त प य ग क च ह हम ब द A क एकदम कर ब द हन तरफ क क छ ब द ल य ब ई ओर क, इनम स हर एक पड़ स ब द क अप क ष ब द A पर फलन क म न सबस अ ध क ह ठ क यह ब त ब द D पर भ ल ग ह त ह हम कह सकत ह क यह ब द A व D स थ न य अ ध कतम ब द (local maximum point) ह इस तरह ग र फ म हम द ख सकत ह क ब द B व E स थ न य न य नतम ब द (local minimum point) क दश रत ह त असल म न य टन क स झ य नयम हम स थ न य अ ध कतम य न य नतम ब द क ज नक र द त ह ल कन ब द C क क य अग र इसक एकदम कर ब (local neighbourhood) क क छ ब द ओ क द ख त हम प य ग क यह ब द न ह स थ न य अ ध कतम ह और न ह न य नतम क य क इसक द हन ओर फलन क म न बढ़ रह ह और ब ई तरफ घट रह ह ऐस ब द ओ क Point of inflection कह ज त ह अब अग र न य टन क नयम क इस त म ल कर नकल ब द अ ध कतम, न य नतम य द न म स क ई भ नह त ऐस सभ ब द ओ क जनक लय श न य क बर बर ह हम अचल ब द (stationary points) कह द त ह एक ग र फ म द खकर त यह पत लग न आस न ह क क न स ब द स थ न य अ ध कतम य न य नतम क दश रत ह ल कन इनक ब च ज ग ण त मक अ तर ह, उस समझन क लए चत र 4 क मदद चत र 4: अचल ब द ओ क ग ण त मक समझ ल त ह चत र 4 (a) म एक फलन क ग र फ क एक ब द पर स पश र र ख दख ई ग ई ह इस र ख क ढ़ल न 5 अग र ग र फ ब द A स प छ बढ़त ह ए कभ ऊपर क तरफ आत य ब द E क ब द कभ न च क ओर आत त जर र ऐस ब द स ह कर ग जरत जह =0 ह त और हम सम करण (E-4) क हल करन पर हम उसक ज नक र मल ज त

ह चरर श क बढ़न क स थ ह ए फलन म आय बदल व क दश रत ह स थ न य अ ध कतम य न य नतम क ब च क अ तर क हम इस ढ़ल न म आय अ तर स समझ सकत ह, जस हम d f स दश रत ह ऐस कस भ स पश र-र ख क ढ़ल न क म न ह त ह tan θ क बर बर हम अग र चत र 4 (b) क द ख त प य ग क न य नतम ब द स पहल ढ़ल न ऋण त मक 6 ह व उसक ब द ध न त मक य न क ग र फ क आग बढ़न क स थ ढ़ल न बढ़ रह ह जसक मतलब ह आ क न य नतम ब द पर d f >0 ह ग व ह द सर ओर चत र 4(c) म अ ध कतम ब द क लय ढ़ल न पहल ध न त मक ह और फर ऋण त मक मतलब क आग बढ़न क स थ ढ़ल न घट रह ह जसक मतलब ह आ क अ ध कतम ब द पर d f <0 ह ग चत र 4 (d) व 4 (e) इन अ ध कतम और न य नतम ब द ओ स इस म मल म अलग ह क अचल ब द क द न तरफ ढ़ल न एक स ह ह य न क अग र ब ई ओर ऋण त मक ह त द हन तरफ भ ऋण त मक व अग र ब ई ओर ध न त मक ह त द हन तरफ भ ध न त मक ऐस त स थ त ह point of inflection क दश रत ह जसक लय d f =0 ह ग Point of inflection स ज ड़ यह श तर जर र त ह ल कन पय रप त नह एक अचल ब द जसक लय d f =0 ह व स थ न य अ ध कतम भ ह सकत ह, न य नतम भ य फर point of inflection इस पर चच र क लए द खए ब क स 1 आईय इस तथ य क ज च कर ल ग द क म मल म =v 0 +at थ जसस हम अग र d f नक ल त मल ग d f =a हमन पहल ह उस उद हरण म द ख क a= g= 9.81m/ s इस लय t=0.5097 s क समकक ष ग र फ क ब द अ ध कतम ह न च हय, ज क व ह ध य न द जय क इस उद हरण म d f =a= g ह ; य न क एक त स थर र श ह त यह र श समय क कस भ म न क लय श न य स छ ट ह ह ग ल कन इसक मतलब यह नह क हर एक ब द अ ध कतम ह ह ग अ ध कतम य न य नतम (स थ न य) ह न क लय पहल श तर ह क उस ब द पर श न य ह ब द x d f A - -48 अ ध कतम B -1 6 न य नतम C 0 0 इनफ ल क श न D 1-6 अ ध कतम अब ग ण तय उद हरण क ल त ह इसक लय d f =6 x5 0 x 3 +8x ह ग त लक म सभ अचल ब द ओ 6 θ क म न 90 o स ज य द ह इस लय tan θ ऋण त मक ह ग E 48 न य नतम त लक : ग ण तय फलन क लय अचल ब द ओ पर d f क म न

क लय d f क म न दय ग य ह आप द ख सकत ह क अ ध कतम ब द ओ पर d f <0 व न य नतम ब द ओ पर d f >0 च क ब द C पर d f =0 ह, इस लय हम ब क स 1 म स झ य ग य तर क क इस त म ल करन ह ग ऐस करन पर आप प य ग क ब द C point of inflection ह क य -क य ह सकत ह d f =0 क म यन? ब क स 1 इस सव ल क जव ब क लय हम ऐस त न फलन क मदद ल त ह जनक लय अचल ब द पर d f =0 ह f 1 =x 4, f =x 5 व f 3 = x 4 इन त न ह क लय अचल ब द x=0 ह ग इन त न फलन क लय न च ग र फ दय ग य ह आप द ख सकत ह क अचल ब द x=0 पहल फलन क म मल म न य नतम, द सर फलन क म मल म point of inflection व त सर क लय अ ध कतम क दश र रह ह सव ल यह ह क जब ऐस त स थ त ह त अ ध कतम, न य नतम व point of inflection म क स भ द कय ज य ऐस करन क लय ज तर क * स झ य ग य ह उसम फलन क तब तक differentiate करत ज त ह जब तक अचल ब द क लय अव कलज क म न ग र- श न य न मल ज य म न ल जय क फलन क n दफ अव कलन करन क ब द हम ग र- श न य म न मलत ह अब अग र n एक व षम स ख य ह त अचल ब द point of inflection ह ग अग र n एक सम स ख य ह व अव कलज क म न श न य स ज य द ह त अचल ब द न य नतम ह ग व ह द सर ओर अग र n एक सम स ख य ह व अव कलज क म न श न य स कम ह त अचल ब द अ ध कतम ह ग द ख न च द ग ई त लक फलन अचल ब द d f पहल ग र-श न य अव कलज d n f n n d n f n f 1 =x 4 x=0 0 d 4 f 4 =4 सम > 0 न य नतम f = x 5 x=0 0 d 5 f 5 =10 व षम इनफ ल क श न f 3 = x 4 x=0 0 d 4 f 4 =-4 सम < 0 अ ध कतम * फलह ल सफर तर क ह, प छ क थ य र फर कभ

अब जब क इस ग ण तय उद हरण क मदद स हमन कस र श य फलन क अचल ब द ओ क पहच नन क तर क स ख लय ह त आईय द व यव ह रक उद हरण द ख ल त ह क स ह ग सबस बड़ क ष त रफल व ल आयत म न ल जय क हम र प स एक त र ह, जसक क ल लम ब ई L म टर ह इस त र क म ड़कर हम एक आयत क श क ल द सकत ह अब सव ल यह ह क व आयत क स ह ग, जसक लय क ष त रफल सबस ज य द ह? च लय म न ल त ह क उस आयत क लम ब ई l म टर व च ड़ ई b म टर इस तरह आयत क क ष त रफल ह आ A=lb यह व र श ह जसक अ ध कतम हम पत करन ह आयत क क ष त रफल उसक लम ब ई व च ड़ ई द न पर ह नभरर करत ह ल कन इस म मल म य द न स व त त र नह ह क य क सव ल क म त बक आयत क प र ध (l+b) ह ग त र क लम ब ई क बर बर य न क, (l+ b)=l b= L l इस तरह सम करण (E 5) स da dl नक लन पर A=l( L l)= l L l (E 5) da dl = L l (E 6) न य टन क नयम क म त बक आयत क क ष त रफल तब अ ध कतम ह ग जब da =0 ह इस लय dl da dl = L l=0 l= L 4 अग र l= L 4 ह त b= L l= L L 4 = L 4 इसक मतलब ह आ क अचल ब द पर l=b= L 4 ह ग य न क अचल ब द एक व ग र क दश र रह ह ल कन यह अचल ब द अ ध कतम क दश र रह ह य न य नतम क, इसक ज च करन क लय d A dl क द खन ह ग सम करण (E 6) स श न य स छ ट ह इस लय अचल ब द एक अ ध कतम ब द ह d A dl = च क d A dl इस तरह हम कह सकत ह क व आयत एक व ग र ह ग जसक क ष त रफल एक द ग ई प र ध क लय सबस ज य द ह ग

ज म स ब ड क द ड़ स दभर क अ क 94 म छप एक ल ख "ज म स ब ड क द ड़ और स न ल स ल " क अ त म सव ल प छ ग य थ क ; अग र ब ड जम न पर v 1 m/s क रफ़ त र स द ड़ सकत ह, सम द र म v m/s क ग त स त र सकत ह त चत र 5 म दख य ग ई त स थ त म व कतन कम स कम समय म जम न स सम द र ट प तक पह च सकत ह? चत र 5:ज म स ब ड क द ड़ इस सव ल म हम व न य नतम समय नक लन ह जसम ब ड ट प तक पह च सकत ह चत र 6 म दख ए म त बक हम म न ल त ह क ब ड ब द A स ब द E तक द ड़ कर ज त ह और फर ब द E स D क तरफ त रन लग त ह त इस तरह ब ड क ट प तक पह चन म लग समय ह ग T = AE v 1 + ED v s चत र 6: ब द E ब द C स x म टर क द र पर ह त AE= d 1 +(d x) व ED= x +d 3 इस तरह d T = 1 +(d x) x +d + 3 s. (E 7) v 1 v ट प तक पह चन म लग न व ल समय क व ल x पर नभरर करत ह इस लय न य टन क नयम क म त बक न य नतम ब द पर dt =0 ह न च हय सम करण (E 5) स dt नक लन पर dt = (d x) v 1 d 1 +(d x) + x v x +d 3 (E 8) त न य नतम ब द क लय जर र ह ग क (d x) v 1 d 1 +(d x) + x v x +d =0 3 य, (d x) v 1 d 1 +(d x) = x (E 9) v x +d 3 य, य, sin θ 1 v 1 = sin θ v

sin θ 1 sin θ = v 1 v (E 10) सम करण (E 10) क द खकर क य आपक क छ य द आ रह ह यह मश ह र स न ल स ल ह अचल ब द पर x क म न नक लन क लय सम करण (E 9) क हल करन ह ग और यह स न त श चत करन क लय क x क व म न न य नतम क ह दश रत ह हम d T क ज च करन ह ग य ज च-पड़त ल हम आप पर ह छ ड़त ह फलह ल हम एक उद हरण क मदद स न य टन क नयम क स म ए द ख ल त ह एक ऐस उद हरण जह न य टन क नयम क म नह कर ग अभ तक हमन जतन भ उद हरण द ख, उन सबम दय ग य फलन क differentiate कय ज सकत थ इस लय उन उद हरण म हम न य टन क नयम लग प य ल कन क छ ऐस भ फलन ह सकत ह जन ह differentiate न कय ज सक ऐस म मल म न य टन क नयम क इस त म ल नह कय ज सकत आईय एक ऐस ह उद हरण द खत ह 7 एक स ध र ख म कई ब द दय ग य ह म न ल त ह क उनक स ख य n ह ; x 1, x, x 3,..., x n आस न क लय हम यह भ म न ल त ह क x 1 <x < x 3 <...< x n हम इस र ख पर एक ऐस ब द ढ़ ढ़न ह जसक इन सभ ब द ओ स क ल द र D कम-स -कम ह म न ल त ह क व ब द x ह दय ग य कस भ ब द स इस ब द क द र ह ग d i = x x i जह i=1,,3,...,n त D= x x 1 + x x + x x 3 +...+ x x n यह व र श ह जसक न य नतम म न हम नक लन ह न य टन क नयम क इस त म ल कर न य नतम dd नक लन क लय हम नक लन ह ग ल कन र श D क differentiate नह कय ज सकत इस लय हम इस उद हरण म न य टन क नयम क उपय ग नह कर सकत त क य हम एक ऐस ब द x क नह ज न सकत जसक लय र श D क म न न य नतम ह? इसक पड़त ल भ हम आप पर ह छ ड़त ह इस स क त क स थ क x क पत लग य ज सकत ह व x क अन ग नत म न ह ग य क व ल एक यह दय ग य ब द ओ क स ख य, य न क n, पर नभरर करत ह और अ त म - क य च टय भ ज नत ह न य टन क नयम? एक क प छ एक लग च टय क ख न क कस च ज क उठ कर अपन ब ब म ल ज त त आप सभ न 7 य उद हरण प ल ज. न हन क कत ब When Least is Best स लय ग य ह

द ख ह ग अग र नह द ख त आग स झ य ह आ प रय ग करक द खय अपन घर, ब ग च, ख ल क म द न य और कह भ जह आपक क छ च टय व उनक ब ब दख ई द त व ह क छ द र पर ख न क क ई च ज रख द जय आप प य ग क अम मन च टय अपन ब ब और ख न क जग ह क ब च उपलब ध सबस छ ट र स त ख ज ल त ह क य व भ न य टन क नयम ज नत ह?